Considere a função de produção f(K, L) dada abaixo, em que K é o capital e L o trabalho. Determine o produto marginal do capital e o produto marginal do trabalho.
f(K, L)=K \ln \left(\frac{\sqrt{K}-\sqrt{L}}{\sqrt{K}+\sqrt{L}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
f(K,L)=K\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{K}-\sqrt{L}}{\sqrt{K}+\sqrt{L}}\biggr)
e pede os produtos marginais do capital ( \partialf/ \partialK) e do trabalho ( \partialf/ \partialL). Para isso vamos usar derivação parcial de funções de duas variáveis e, em particular, a regra do produto e a regra da cadeia para logaritmo de quociente.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial K} escrevemos
f(K,L)=K\cdot g(K,L),
onde
g(K,L)=\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{K}-\sqrt{L}}{\sqrt{K}+\sqrt{L}}\biggr).
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial K} = g(K,L) + K\,\frac{\partial g}{\partial K}.

Passo 3

Agora calculamos \partial g/\partial K. Defina a=\sqrt{K}, b=\sqrt{L} e
Q(K,L)=\frac{a-b}{a+b},
logo g=\ln Q. Temos
\frac{\partial a}{\partial K}=\frac1{2\sqrt{K}}=\frac1{2a},\qquad \frac{\partial b}{\partial K}=0.
Dessa forma,
\frac{\partial Q}{\partial K} =\frac{(a+b)\,\frac{1}{2a} - (a-b)\,\frac{1}{2a}}{(a+b)^2} =\frac{2b}{2a\,(a+b)^2} =\frac{b}{a\,(a+b)^2}.
Como \partial g/\partial K=(1/Q)\,\partial Q/\partial K e 1/Q=(a+b)/(a-b), resulta
\frac{\partial g}{\partial K} =\frac{a+b}{a-b}\;\frac{b}{a\,(a+b)^2} =\frac{b}{a\,(a^2-b^2)} =\frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}\,(K-L)}.

Passo 4

Voltando a \partial f/\partial K,
\frac{\partial f}{\partial K} =\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{K}-\sqrt{L}}{\sqrt{K}+\sqrt{L}}\biggr) +K\cdot\frac{\sqrt{L}}{\sqrt{K}\,(K-L)}.
Como K/\sqrt{K}=\sqrt{K}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial K} =\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{K}-\sqrt{L}}{\sqrt{K}+\sqrt{L}}\biggr) +\frac{\sqrt{K\,L}}{K-L}.

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial L} usamos f=K\cdot g com K constante:
\frac{\partial f}{\partial L} =K\,\frac{\partial g}{\partial L}.
Repetindo o cálculo de \partial g mas agora \partial a/\partial L=0, \partial b/\partial L=1/(2b), chega-se a
\frac{\partial g}{\partial L} =-\frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}\,(K-L)}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial L} =K\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt{K}}{\sqrt{L}\,(K-L)}\Bigr) =-\frac{K\,\sqrt{K}}{\sqrt{L}\,(K-L)}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial K} &=\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{K}-\sqrt{L}}{\sqrt{K}+\sqrt{L}}\biggr) +\frac{\sqrt{K\,L}}{K-L},\\[6pt] \frac{\partial f}{\partial L} &=-\frac{K\,\sqrt{K}}{\sqrt{L}\,(K-L)}. \end{aligned} }]

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