Seja a função de produção Cobb Douglas f(K, L)=K^{\alpha} L^{\beta}. Determine o produto marginal do capital ( P M g K ) e o produto marginal do trabalho ( P M g L ). Que restrições devem ser impostas sobre \alpha e \beta para que os produtos marginais do trabalho e do capital sejam positivos e decrescentes?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção Cobb–Douglas
f(K,L)=K^{\alpha}L^{\beta}
e pede o produto marginal do capital e do trabalho, além das condições para que esses produtos sejam positivos e decrescentes. Vamos usar derivadas parciais (cálculo diferencial) e depois analisar o sinal das derivadas de primeira e de segunda ordem.

Passo 2

Para obter o produto marginal do capital, PMgK, calculamos a derivada parcial de f em relação a K, tratando L como constante. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial f}{\partial K} =\alpha\,K^{\alpha-1}L^{\beta}.
Portanto,
PMgK=\alpha\,K^{\alpha-1}L^{\beta}.

Passo 3

Para obter o produto marginal do trabalho, PMgL, calculamos a derivada parcial de f em relação a L, tratando K como constante. Novamente aplicando a regra da potência:
\frac{\partial f}{\partial L} =\beta\,K^{\alpha}L^{\beta-1}.
Logo,
PMgL=\beta\,K^{\alpha}L^{\beta-1}.

Passo 4

Para que PMgK e PMgL sejam positivos, precisamos que os coeficientes \alpha e \beta sejam positivos (assumindo K>0 e L>0). Assim:
\alpha>0 \quad\text{e}\quad \beta>0.

Passo 5

Para que os produtos marginais sejam decrescentes em cada insumo, as segundas derivadas parciais devem ser negativas.
Calculando
\frac{\partial^2 f}{\partial K^2} =\alpha(\alpha-1)\,K^{\alpha-2}L^{\beta},
o que exige \alpha(\alpha-1)<0, isto é,
0<\alpha<1.
Análogo para L:
\frac{\partial^2 f}{\partial L^2} =\beta(\beta-1)\,K^{\alpha}L^{\beta-2} \quad\Longrightarrow\quad 0<\beta<1.

Resposta

PMgK=\alpha\,K^{\alpha-1}L^{\beta}
PMgL=\beta\,K^{\alpha}L^{\beta-1}
Restrições para positividade e decrescimento:
0<\alpha<1 e 0<\beta<1.

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