Seja a função de produção Cobb Douglas
. Determine o produto marginal do capital (
) e o produto marginal do trabalho (
). Que restrições devem ser impostas sobre
e
para que os produtos marginais do trabalho e do capital sejam positivos e decrescentes?
Passo 1
O enunciado nos dá a função de produção Cobb–Douglas
e pede o produto marginal do capital e do trabalho, além das condições para que esses produtos sejam positivos e decrescentes. Vamos usar derivadas parciais (cálculo diferencial) e depois analisar o sinal das derivadas de primeira e de segunda ordem.
Passo 2
Para obter o produto marginal do capital,
, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Aplicando a regra da potência:
Portanto,
Passo 3
Para obter o produto marginal do trabalho,
, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Novamente aplicando a regra da potência:
Logo,
Passo 4
Para que
e
sejam positivos, precisamos que os coeficientes
e
sejam positivos (assumindo
e
). Assim:
Passo 5
Para que os produtos marginais sejam decrescentes em cada insumo, as segundas derivadas parciais devem ser negativas.
Calculando
Calculando
o que exige
, isto é,
Análogo para
:
Resposta
Restrições para positividade e decrescimento:
e
.