1. Considere a função
f(x, y)=\frac{x^{2}}{4 x^{2}-y^{2}}
a) Determine e esboce o domínio de f;
b) Determine a imagem de f,
c) Determine as curvas de nível de f e faça o gráfico das mesmas (pelo menos 3 curvas de nível).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}}{4x^{2}-y^{2}}
e pede três coisas:
  • (a) determinar e esboçar o domínio de f;
  • (b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f;
  • (c) determinar as curvas de nível de f e desenhar pelo menos três delas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão tem um denominador \,4x^{2}-y^{2}\,, portanto pontos onde \,4x^{2}-y^{2}=0\, são problemáticos (não pertencem ao domínio).
  • O numerador é \,x^{2}\, (sempre não negativo) e pode ser zero em pontos com x=0.
  • Não há outras restrições explícitas; então o domínio será todo \mathbb{R}^{2} exceto onde o denominador se anula.

Passo 2

Determinar o domínio: regra e explicação didática.
  • Uma função racional de duas variáveis está definida sempre que o denominador for diferente de zero.
  • Aplicando isso: o domínio é o conjunto de pontos (x,y) tais que
4x^{2}-y^{2}\neq 0.
  • Resolver a equação 4x^{2}-y^{2}=0 para ver quais pontos excluir:
4x^{2}-y^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}=4x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\pm 2x.
  • Conclusão: o denominador se anula exatamente sobre as duas retas que passam pela origem com inclinações \pm 2. Todos os pontos dessas retas são excluídos do domínio; todos os outros pontos do plano são permitidos.
Observação sobre o ponto (0,0):
  • Em (0,0) temos numerador x^{2}=0 e denominador 4x^{2}-y^{2}=0; isso é do tipo \tfrac{0}{0}, portanto (0,0) está excluído do domínio (já incluído nas retas y=\pm2x).

Passo 3

Resposta do item (a) com um esboço descritivo.
  • Domínio:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq \pm 2x\}.
  • Esboço (como desenhar no papel): desenhar o plano cartesiano e riscar (excluir) as duas retas que passam pela origem com inclinações 2 e -2. Todo o resto do plano é domínio. Repare que a reta horizontal y=0 (e a vertical x=0) pertencem ao domínio exceto no ponto (0,0) que já está excluído pela condição y=\pm 2x.

Passo 4

Preparação para encontrar a imagem: ideia e método.
  • Para achar a imagem de f (os valores possíveis de f(x,y)), uma técnica útil é: fixar um valor k\in\mathbb{R} e verificar se existe (x,y) no domínio tal que f(x,y)=k.
  • Então resolvemos a equação
\frac{x^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=k
para (x,y) reais e investigamos para quais k existe solução com 4x^{2}-y^{2}\neq 0.
  • Vou tratar separadamente os casos k=0 e k\neq 0.

Passo 5

Análise do caso k=0.
  • Colocando k=0 na equação:
\frac{x^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0.
  • Para x=0 e qualquer y tal que 4x^{2}-y^{2}\neq0 (ou seja y\neq0), a função vale 0 porque o numerador é zero e o denominador é -y^{2}\neq0.
  • Portanto 0 pertence à imagem e é atingido por todos os pontos da reta x=0 exceto o ponto (0,0).
  • Conclusão parcial: 0 está na imagem.

Passo 6

Análise do caso k\neq 0: manipulação algébrica detalhada.
  • Partimos de
\frac{x^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=k.
  • Multiplicando ambos os lados por 4x^{2}-y^{2} (lembre de exigir que esse termo seja não nulo) e rearranjando, obtemos
x^{2}=k(4x^{2}-y^{2}) \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-4k x^{2}=-k y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}(1-4k)=-k y^{2}.
  • Multiplicando por -1:
x^{2}(4k-1)=k y^{2}.
  • Como k\neq 0, podemos escrever
y^{2}=x^{2}\,\frac{4k-1}{k}.
  • Para existirem soluções reais com x e y reais, o lado direito deve ser não negativo, isto é:
\frac{4k-1}{k}\ge 0.

Passo 7

Resolver a desigualdade \dfrac{4k-1}{k}\ge 0 (análise de sinais).
  • Os pontos críticos são k=0 (denominador) e k=\dfrac{1}{4} (numerador).
  • Estudar sinais nos intervalos:
    • Para k<0: numerador 4k-1<0 e denominador k<0 → razão positiva. Logo a desigualdade vale.
    • Para 0<k<\dfrac{1}{4}: numerador 4k-1<0 e denominador k>0 → razão negativa. Não vale.
    • Para k>\dfrac{1}{4}: numerador 4k-1>0 e denominador k>0 → razão positiva. Vale.
  • Pontos extremos:
    • Em k=\dfrac{1}{4} a razão é zero; isso corresponde a y^{2}=0 (veremos no próximo passo).
    • Em k=0 o passo anterior tratou o caso separadamente.
  • Conclusão: existem soluções reais para a equação f(x,y)=k exatamente quando
k<0 \qquad\text{ou}\qquad k\ge \frac{1}{4}.
Ou seja, nenhum k com 0<k<\tfrac{1}{4} é atingido.

Passo 8

Verificação de inclusão dos valores-limite k=0 e k=\tfrac{1}{4}.
  • Já vimos que k=0 é atingido por pontos com x=0 e y\neq 0.
  • Para k=\dfrac{1}{4}, voltando à equação inicial:
\frac{x^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^{2}=4x^{2}-y^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y=0.
  • Para y=0 e x\neq 0 o denominador é 4x^{2}\neq0, logo f(x,0)=x^{2}/(4x^{2})=1/4. Portanto 1/4 pertence à imagem.
  • Assim os extremos \,0\, e \,1/4\, estão incluídos.

Passo 9

Conclusão final sobre a imagem (item b).
  • Juntando as observações:
    • Todos os k<0 são atingidos;
    • k=0 é atingido;
    • nenhum k com 0<k<\tfrac{1}{4} é atingido;
    • todos os k\ge \tfrac{1}{4} são atingidos.
  • Portanto a imagem de f é
(-\infty,0]\\ \cup\\ \left[\tfrac{1}{4},+\infty\right).

Passo 10

Determinar as curvas de nível (item c): equação geral e interpretação geométrica.
  • Curva de nível de valor c é o conjunto \{(x,y)\in\text{domínio}\mid f(x,y)=c\}í.
  • Começando de
\frac{x^{2}}{4x^{2}-y^{2}}=c,
e repetindo a manipulação do Passo 6 para c no lugar de k (pressupondo c\neq 0), obtemos
y^{2}=x^{2}\,\frac{4c-1}{c}.
  • Assim, para c\neq 0 e c\neq \tfrac{1}{4}, temos
y=\pm\sqrt{\frac{4c-1}{c}}\;x.
Isto é, a curva de nível é formada por duas retas que passam pela origem, com coeficientes angulares \pm\sqrt{\dfrac{4c-1}{c}}.
  • Significado: as curvas de nível são (em geral) duas retas através da origem (excetuando-se os pontos onde o denominador se anula, pois esses pontos não pertencem ao domínio).

Passo 11

Casos especiais das curvas de nível.
  • Para c=0: da análise do Passo 5, a curva de nível é a reta vertical x=0 (e o ponto (0,0) está excluído). Então o nível 0 é a reta x=0 sem a origem.
  • Para c=\tfrac{1}{4}: do Passo 8, obtemos y=0. A curva de nível é a reta horizontal y=0 com a origem excluída.
  • Para 0<c<\tfrac{1}{4}: não há curvas de nível porque esses valores não pertencem à imagem de f.
  • Observação: as retas determinadas por y=\pm\sqrt{\dfrac{4c-1}{c}}\,x nunca coincidem com as retas excluídas y=\pm 2x, pois se assim fosse teríamos \sqrt{\dfrac{4c-1}{c}}=2 implicando \dfrac{4c-1}{c}=4\Rightarrow4c-1=4c\Rightarrow -1=0, impossível.

Passo 12

Exemplos concretos e instruções de desenho (pelo menos 3 curvas de nível), com interpretação geométrica e valores numéricos.
  • Curva de nível para c=-1 (valor negativo; pertence à imagem):
    • Calcular coeficiente:
    \frac{4c-1}{c}=\frac{-4-1}{-1}=5,logo as retas são y=\pm\sqrt{5}\;x \quad(\text{duas retas atravessando a origem, pendente }\pm\sqrt{5}\approx\pm 2{,}236).
    • Desenho: traçar duas retas passando pela origem com essas pendentes; excluir a origem (já fora do domínio) e não há intersecção com as retas y=\pm2x.
  • Curva de nível para c=0:
    • É a reta vertical
    x=0com a origem (0,0) excluída. Desenhe o eixo y menos o ponto na origem.
  • Curva de nível para c=1 (valor positivo e maior que \tfrac{1}{4}):
    • Coeficiente:
    \frac{4c-1}{c}=\frac{4-1}{1}=3,logo y=\pm\sqrt{3}\;x \quad(\text{pendentes }\pm\sqrt{3}\approx\pm 1{,}732).
    • Desenho: duas retas atravessando a origem com essas pendentes.
  • (Opcional) nível c=\tfrac{1}{4}:
    • É a reta horizontal
    y=0com a origem excluída; desenhe o eixo x sem a origem.
  • Observação prática para o esboço: desenhe o plano, marque as duas retas excluídas y=\pm 2x (como linhas tracejadas para indicar que o domínio as exclui). Em seguida desenhe as retas das curvas de nível escolhidas (por exemplo y=\pm\sqrt{5}\,x, x=0, y=\pm\sqrt{3}\,x) e não esqueça de riscar a origem se necessário.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq \pm 2x\}.
(b) (-\infty,0]\\ \cup\\ \left[\tfrac{1}{4},+\infty\right).
(c) Para c\neq 0,\;c\neq\tfrac{1}{4} as curvas de nível são as retas
y=\pm\sqrt{\frac{4c-1}{c}}\;x,
para c=0 a curva de nível é x=0 (origem excluída) e para c=\tfrac{1}{4} a curva de nível é y=0 (origem excluída).
Exemplos: para c=-1 temos y=\pm\sqrt{5}\,x; para c=0 temos x=0; para c=1 temos y=\pm\sqrt{3}\,x.

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