- Considere a função
a) Determine e esboce o domínio de
;
b) Determine a imagem de
,
c) Determine as curvas de nível de
e faça o gráfico das mesmas (pelo menos 3 curvas de nível).
b) Determine a imagem de
c) Determine as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) determinar e esboçar o domínio de
; - (b) determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
; - (c) determinar as curvas de nível de
e desenhar pelo menos três delas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão tem um denominador
, portanto pontos onde são problemáticos (não pertencem ao domínio). - O numerador é
(sempre não negativo) e pode ser zero em pontos com . - Não há outras restrições explícitas; então o domínio será todo
exceto onde o denominador se anula.
Passo 2
Determinar o domínio: regra e explicação didática.
- Uma função racional de duas variáveis está definida sempre que o denominador for diferente de zero.
- Aplicando isso: o domínio é o conjunto de pontos
tais que
- Resolver a equação
para ver quais pontos excluir:
- Conclusão: o denominador se anula exatamente sobre as duas retas que passam pela origem com inclinações
. Todos os pontos dessas retas são excluídos do domínio; todos os outros pontos do plano são permitidos.
Observação sobre o ponto
:
- Em
temos numerador e denominador ; isso é do tipo , portanto está excluído do domínio (já incluído nas retas ).
Passo 3
Resposta do item (a) com um esboço descritivo.
- Domínio:
- Esboço (como desenhar no papel): desenhar o plano cartesiano e riscar (excluir) as duas retas que passam pela origem com inclinações
e . Todo o resto do plano é domínio. Repare que a reta horizontal (e a vertical ) pertencem ao domínio exceto no ponto que já está excluído pela condição .
Passo 4
Preparação para encontrar a imagem: ideia e método.
- Para achar a imagem de
(os valores possíveis de ), uma técnica útil é: fixar um valor e verificar se existe no domínio tal que . - Então resolvemos a equação
para
reais e investigamos para quais
existe solução com
.
- Vou tratar separadamente os casos
e .
Passo 5
Análise do caso
.
- Colocando
na equação:
- Para
e qualquer tal que (ou seja ), a função vale porque o numerador é zero e o denominador é . - Portanto
pertence à imagem e é atingido por todos os pontos da reta exceto o ponto . - Conclusão parcial:
está na imagem.
Passo 6
Análise do caso
: manipulação algébrica detalhada.
- Partimos de
- Multiplicando ambos os lados por
(lembre de exigir que esse termo seja não nulo) e rearranjando, obtemos
- Multiplicando por
:
- Como
, podemos escrever
- Para existirem soluções reais com
e reais, o lado direito deve ser não negativo, isto é:
Passo 7
Resolver a desigualdade
(análise de sinais).
- Os pontos críticos são
(denominador) e (numerador). - Estudar sinais nos intervalos:
- Para
: numerador e denominador → razão positiva. Logo a desigualdade vale. - Para
: numerador e denominador → razão negativa. Não vale. - Para
: numerador e denominador → razão positiva. Vale.
- Para
- Pontos extremos:
- Em
a razão é zero; isso corresponde a (veremos no próximo passo). - Em
o passo anterior tratou o caso separadamente.
- Em
- Conclusão: existem soluções reais para a equação
exatamente quando
Ou seja, nenhum
com
é atingido.
Passo 8
Verificação de inclusão dos valores-limite
e
.
- Já vimos que
é atingido por pontos com e . - Para
, voltando à equação inicial:
- Para
e o denominador é , logo . Portanto pertence à imagem. - Assim os extremos
e estão incluídos.
Passo 9
Conclusão final sobre a imagem (item b).
- Juntando as observações:
- Todos os
são atingidos; -
é atingido; - nenhum
com é atingido; - todos os
são atingidos.
- Todos os
- Portanto a imagem de
é
Passo 10
Determinar as curvas de nível (item c): equação geral e interpretação geométrica.
- Curva de nível de valor
é o conjunto . - Começando de
e repetindo a manipulação do Passo 6 para
no lugar de
(pressupondo
), obtemos
- Assim, para
e , temos
Isto é, a curva de nível é formada por duas retas que passam pela origem, com coeficientes angulares
.
- Significado: as curvas de nível são (em geral) duas retas através da origem (excetuando-se os pontos onde o denominador se anula, pois esses pontos não pertencem ao domínio).
Passo 11
Casos especiais das curvas de nível.
- Para
: da análise do Passo 5, a curva de nível é a reta vertical (e o ponto está excluído). Então o nível é a reta sem a origem. - Para
: do Passo 8, obtemos . A curva de nível é a reta horizontal com a origem excluída. - Para
: não há curvas de nível porque esses valores não pertencem à imagem de . - Observação: as retas determinadas por
nunca coincidem com as retas excluídas , pois se assim fosse teríamos implicando , impossível.
Passo 12
Exemplos concretos e instruções de desenho (pelo menos 3 curvas de nível), com interpretação geométrica e valores numéricos.
- Curva de nível para
(valor negativo; pertence à imagem): - Calcular coeficiente:
logo as retas são - Desenho: traçar duas retas passando pela origem com essas pendentes; excluir a origem (já fora do domínio) e não há intersecção com as retas
.
- Curva de nível para
: - É a reta vertical
com a origem excluída. Desenhe o eixo menos o ponto na origem. - Curva de nível para
(valor positivo e maior que ): - Coeficiente:
logo - Desenho: duas retas atravessando a origem com essas pendentes.
- (Opcional) nível
: - É a reta horizontal
com a origem excluída; desenhe o eixo sem a origem. - Observação prática para o esboço: desenhe o plano, marque as duas retas excluídas
(como linhas tracejadas para indicar que o domínio as exclui). Em seguida desenhe as retas das curvas de nível escolhidas (por exemplo , , ) e não esqueça de riscar a origem se necessário.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para
as curvas de nível são as retas
para
a curva de nível é
(origem excluída) e para
a curva de nível é
(origem excluída).
Exemplos: para temos
; para
temos
; para
temos
.
Exemplos: para