(MAT2454-P1 2020) Considere a curva \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \gamma(t)=\left(t^{2} \cos (\pi t), t^{2} \operatorname{sen}(\pi t)\right). Encontre as equações das retas tangentes à trajetória de \gamma no ponto (4,0).

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica
\gamma(t)=\bigl(t^{2}\cos(\pi t),\,t^{2}\operatorname{sen}(\pi t)\bigr)
e pede as retas tangentes à trajetória de \gamma que passam pelo ponto (4,0).
Conteúdo: curvas parametrizadas e derivadas para obter a direção da tangente.

Passo 2

Precisamos achar todos os valores de t\) tais que \[\gamma(t)=(4,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} t^{2}\cos(\pi t)=4,\\\ t^{2}\operatorname{sen}(\pi t)=0. \end{cases}
Da segunda equação vem t^{2}\operatorname{sen}(\pi t)=0\Rightarrow t=0\] ou \(\operatorname{sen}(\pi t)=0. Como \operatorname{sen}(\pi t)=0 implica \pi t=k\pi, obtemos t=k\in\mathbb{Z}. O caso t=0 leva ao ponto (0,0), não é (4,0). Logo t=k, k\ne0.

Passo 3

Para t=k\in\mathbb{Z}, a primeira equação fica
k^{2}\cos(\pi k)=4\quad\Longrightarrow\quad k^{2}(-1)^{k}=4.
Se k é par, (-1)^{k}=1 e k^{2}=4 k=\pm2. Se k é ímpar, (-1)^{k}=-1 e -k^{2}=4 não tem solução real. Concluímos
t=2\quad\text{ou}\quad t=-2.

Passo 4

Calculamos a derivada
\gamma'(t)=\bigl(2t\cos(\pi t)-\pi t^{2}\operatorname{sen}(\pi t),\;2t\operatorname{sen}(\pi t)+\pi t^{2}\cos(\pi t)\bigr).
Em t=2 temos \cos(2\pi)=1, \operatorname{sen}(2\pi)=0, daí
\gamma'(2)=(2\cdot2\cdot1-0,\;0+ \pi\cdot4\cdot1)=(4,4\pi).
A reta tangente em (4,0) com direção (4,4\pi) é
y=\frac{4\pi}{4}(x-4)=\pi(x-4).

Passo 5

Em t=-2 temos \cos(-2\pi)=1, \operatorname{sen}(-2\pi)=0, daí
\gamma'(-2)=(2(-2)\cdot1-0,\;0+\pi\cdot4\cdot1)=(-4,4\pi).
A reta tangente em (4,0) com direção (-4,4\pi) é
y=\frac{4\pi}{-4}(x-4)=-\pi(x-4).

Resposta

y=\pi(x-4)
y=-\pi(x-4)

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