Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x y}{4 x^{2}+5 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{3xy}{4x^{2}+5y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Aqui o conteúdo é limite de função de duas variáveis, e a ideia é verificar se o valor se mantém o mesmo em diferentes curvas de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Para ver se o limite existe, usamos que, em duas variáveis, um limite só existe se for igual em toda trajetória de aproximação. Vamos escolher a família de retas y = m\,x, com m\in\mathbb{R}, e ver o valor de
f(x,mx) =\frac{3x\,(m x)}{4x^{2}+5\,(m x)^{2}}.

Passo 3

Simplificando f(x,mx):
f(x,mx) =\frac{3m\,x^{2}}{4x^{2}+5m^{2}x^{2}} =\frac{3m\,x^{2}}{x^{2}(4+5m^{2})} =\frac{3m}{4+5m^{2}}.
Como não há mais dependência de x, o limite ao longo de y=mx é
\lim_{x\to0}f(x,mx) =\frac{3m}{4+5m^{2}}.

Passo 4

O valor \tfrac{3m}{4+5m^{2}} depende de m. Por exemplo, para m=0 obtemos 0 e para m=1 obtemos \tfrac{3}{9}=\tfrac{1}{3}. Como há trajetórias que levam a resultados diferentes, não há um único valor para o limite.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados