Considere a função f(x, y)=\ln \left(1-x+y^{2}\right)+e^{x y}. Determine a aproximação linear de f em torno do ponto (0, \pi).

Passo 1

O enunciado pede a aproximação linear (primeira ordem de Taylor) de
f(x,y)=\ln\bigl(1 - x + y^{2}\bigr)+e^{xy}
em torno do ponto (0,\pi). Para isso precisamos de f(0,\pi), de \frac{\partial f}{\partial x} e de \frac{\partial f}{\partial y}, ambos avaliados em (0,\pi).

Passo 2

Calcular o valor de f em (0,\pi):
f(0,\pi) =\ln\bigl(1 - 0 + \pi^2\bigr)+e^{0\cdot\pi} =\ln\bigl(1+\pi^2\bigr)+1.

Passo 3

Encontrar as derivadas parciais gerais.
Para \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(1 - x + y^2\bigr) =\frac{-1}{1 - x + y^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}e^{xy} =y\,e^{xy},
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f_x(x,y) =-\frac{1}{1 - x + y^2}+y\,e^{xy}.
Para \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\ln\bigl(1 - x + y^2\bigr) =\frac{2y}{1 - x + y^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}e^{xy} =x\,e^{xy},
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f_y(x,y) =\frac{2y}{1 - x + y^2}+x\,e^{xy}.

Passo 4

Avaliar as parciais em (0,\pi):
f_x(0,\pi) =-\frac{1}{1+\pi^2}+\pi\cdot e^{0} =\pi-\frac{1}{1+\pi^2},
f_y(0,\pi) =\frac{2\pi}{1+\pi^2}+0 =\frac{2\pi}{1+\pi^2}.

Passo 5

Formar a aproximação linear
L(x,y) =f(0,\pi) +f_x(0,\pi)\,(x-0) +f_y(0,\pi)\,(y-\pi).

Resposta

L(x,y) =\ln\bigl(1+\pi^2\bigr)+1 +\Bigl(\pi-\frac{1}{1+\pi^2}\Bigr)x +\frac{2\pi}{1+\pi^2}\,(y-\pi).

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