Exercício 5.3 Considere a funçāo f:[0,4] \times[2,4] \rightarrow \mathbb{R}. Calcular \int_{2}^{4} \int_{0}^{4} f(x, y) dxdy pelo método da soma de Riemann, nos seguintes casos:
f(x, y)=x y+3 y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=x\,y+3\,y
no retângulo [0,4]\times[2,4] pelo método da soma de Riemann. O conteúdo é integração dupla e usaremos a passagem ao limite que leva à integral iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral segundo a definição de Riemann como
\iint_{[0,4]\times[2,4]}f(x,y)\,dA =\int_{y=2}^{4}\!\int_{x=0}^{4}(x\,y+3\,y)\,dx\,dy.

Passo 3

Calcular primeiro a integral interna em x:
\int_{0}^{4}(x\,y+3\,y)\,dx =y\int_{0}^{4}x\,dx+3\,y\int_{0}^{4}1\,dx =y\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{4}+3\,y\bigl[x\bigr]_{0}^{4} =8\,y+12\,y=20\,y.

Passo 4

Substituímos na integral externa em y:
\int_{2}^{4}20\,y\,dy =20\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{2}^{4} =10\bigl(4^{2}-2^{2}\bigr) =10\,(16-4) =120.

Resposta

120

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