Exercício 5.27 Das afirmaçōes seguintes quais sāo verdadeiras ou falsa e justifique:
A igualdade a seguir é verdadeira
\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_{x^{2}}^{1-x^{2}} d y d x=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} d x d y+\int_{0}^{1 / 2} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} d x d y
e representa a área de uma regiāo planar D limitada por duas curvas (Ajuda: desenhe a regiāo D).

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{x^{2}}^{1 - x^{2}}dy\,dx
e afirma que ela é igual a
\int_{\frac{1}{2}}^{1}\int_{-\sqrt{1 - y}}^{\sqrt{1 - y}}dx\,dy \;+\; \int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}dx\,dy.
Queremos verificar se essa igualdade é verdadeira e mostrar que ambas representam a área da região D limitada pelas curvas y = x^{2} e y = 1 - x^{2}.

Passo 2

Identificamos a região D pela descrição dada na integral original em coordenadas x-primeiro:
-\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le \frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad x^{2}\le y\le 1 - x^{2}.
As curvas se intersectam onde x^{2}=1 - x^{2}, ou seja em x^{2}=\tfrac12, logo x=\pm\tfrac1{\sqrt2} e y=\tfrac12.

Passo 3

Ao desenhar D, vemos que é a região entre a parábola y=x^{2} (aberta para cima) e a parábola invertida y=1 - x^{2} (aberta para baixo). O ponto mais baixo de D fica em x=0,y=0 e o mais alto em x=0,y=1, mas a troca de qual curva “contém” D ocorre em y=\tfrac12.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, determinamos primeiro o intervalo total de y: varia de y=0 até y=1. Em seguida, para cada y fixo, encontramos o intervalo de x:
  • Se 0\le y\le \tfrac12, a fronteira inferior é y=x^{2}, então -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}.
  • Se \tfrac12\le y\le 1, a fronteira superior é y=1 - x^{2}, então -\sqrt{1 - y}\le x\le \sqrt{1 - y}.

Passo 5

Escrevendo a integral em ordem y-primeiro, obtemos
\int_{0}^{\frac12}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}dx\,dy \;+\; \int_{\frac12}^{1}\int_{-\sqrt{1 - y}}^{\sqrt{1 - y}}dx\,dy.
Como adição é comutativa, isso é exatamente
\int_{\frac12}^{1}\int_{-\sqrt{1 - y}}^{\sqrt{1 - y}}dx\,dy \;+\; \int_{0}^{\frac12}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}dx\,dy,
que coincide com o enunciado.

Resposta

A igualdade é verdadeira e ambas as integrais representam a área da região D limitada pelas curvas y=x^{2} e y=1 - x^{2}.

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