Exercício 5.27 Das afirmaçōes seguintes quais sāo verdadeiras ou falsa e justifique:
A igualdade a seguir é verdadeira
e representa a área de uma regiāo planar
limitada por duas curvas (Ajuda: desenhe a regiāo D).
A igualdade a seguir é verdadeira
Passo 1
O enunciado dá a integral
e afirma que ela é igual a
Queremos verificar se essa igualdade é verdadeira e mostrar que ambas representam a área da região
limitada pelas curvas
e
.
Passo 2
Identificamos a região
pela descrição dada na integral original em coordenadas
-primeiro:
As curvas se intersectam onde
, ou seja em
, logo
e
.
Passo 3
Ao desenhar
, vemos que é a região entre a parábola
(aberta para cima) e a parábola invertida
(aberta para baixo). O ponto mais baixo de
fica em
e o mais alto em
, mas a troca de qual curva “contém”
ocorre em
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, determinamos primeiro o intervalo total de
: varia de
até
. Em seguida, para cada
fixo, encontramos o intervalo de
:
- Se
, a fronteira inferior é , então . - Se
, a fronteira superior é , então .
Passo 5
Escrevendo a integral em ordem
-primeiro, obtemos
Como adição é comutativa, isso é exatamente
que coincide com o enunciado.
Resposta
A igualdade é verdadeira e ambas as integrais representam a área da região
limitada pelas curvas
e
.