Considere a função f(x, y) = raiz(4x^2 + 4y^2).
Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . A gente precisa descobrir duas coisas: o domínio dessa função e o conjunto imagem dela. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis e os conceitos de domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No nosso caso, a função envolve uma raiz quadrada, então precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, já que não podemos calcular a raiz de um número negativo (no conjunto dos números reais).

Passo 3

Vamos analisar o que está dentro da raiz na nossa função:
Queremos que isso seja maior ou igual a zero:
Como e são sempre positivos ou zero para qualquer número real e , a soma deles também será sempre maior ou igual a zero. Ou seja, essa condição é sempre verdadeira para todos os valores reais de e .

Passo 4

Então, o domínio da função são todos os pares onde e são números reais. Em termos matemáticos:
í
Isso significa que não há restrições, podemos escolher qualquer valor real para e .

Passo 5

Agora vamos para o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Vamos analisar a expressão:
Podemos fatorar o 4 dentro da raiz:
Como é sempre maior ou igual a zero, a raiz também será maior ou igual a zero, e multiplicando por 2, o valor mínimo de é zero:
Portanto, o conjunto imagem de é todos os números reais não negativos.

Resposta

  • Domínio de : (todos os pares reais)
  • Conjunto imagem de :

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