Considere a função
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
.
Determine o domínio e o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. A gente precisa descobrir duas coisas: o domínio dessa função e o conjunto imagem dela. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis e os conceitos de domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No nosso caso, a função envolve uma raiz quadrada, então precisamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero, já que não podemos calcular a raiz de um número negativo (no conjunto dos números reais).
Passo 3
Vamos analisar o que está dentro da raiz na nossa função:
Queremos que isso seja maior ou igual a zero:
Como
e
são sempre positivos ou zero para qualquer número real
e
, a soma deles também será sempre maior ou igual a zero. Ou seja, essa condição é sempre verdadeira para todos os valores reais de
e
.
Passo 4
Então, o domínio da função
são todos os pares
onde
e
são números reais. Em termos matemáticos:
Isso significa que não há restrições, podemos escolher qualquer valor real para
e
.
Passo 5
Agora vamos para o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Vamos analisar a expressão:
Podemos fatorar o 4 dentro da raiz:
Como
é sempre maior ou igual a zero, a raiz também será maior ou igual a zero, e multiplicando por 2, o valor mínimo de
é zero:
Portanto, o conjunto imagem de
é todos os números reais não negativos.
Resposta
- Domínio de
: (todos os pares reais) - Conjunto imagem de
: