Considere a função f(x, y) = 4 - x^2 - y^2.
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Então, a gente tem a função . A questão pede para fazer um mapa de contorno dessa função, que basicamente são curvas que mostram onde a função tem o mesmo valor, chamadas curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar essas curvas de nível e representar pelo menos cinco delas no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher pelo menos cinco valores diferentes para a função . Esses valores vão ser os valores de nível que a gente vai usar para desenhar as curvas. Vamos selecionar valores que fazem sentido para a função dada. Por exemplo, podemos escolher .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação de cada curva de nível substituindo por cada valor de :
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio .

Passo 4

Vamos calcular o raio de cada círculo para os valores de escolhidos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com essas equações, a gente consegue desenhar as curvas de nível no plano . Cada curva será um círculo com o raio correspondente calculado acima. No mapa de contorno, esses círculos mostrarão como a função varia em relação aos valores de .

Resposta

O mapa de contorno de consiste em cinco curvas de nível que são círculos centrados na origem com raios 2, , , 1 e 0, correspondentes aos valores de .

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