Considere a função f(x, y) = raiz(4 x^2 + y^2).
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um mapa de contorno da função com pelo menos 5 curvas de nível. Mapa de contorno é tipo um desenho que mostra onde a função tem valores iguais, ajudando a visualizar como ela se comporta no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir essas curvas de nível e escolher cinco valores diferentes para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem o mesmo valor constante, digamos . Então, temos . No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para facilitar o desenho das curvas. Ao elevar ambos os lados ao quadrado, eliminamos a raiz quadrada:
Essa é a equação geral de uma elipse no plano . As elipses são formas fechadas parecidas com círculos esticados em uma direção. No nosso caso, elas serão mais esticadas no eixo devido ao coeficiente 4.

Passo 4

Agora, precisamos escolher cinco valores diferentes para para obter cinco curvas de nível distintas. Vamos escolher valores positivos, já que representa uma distância (não faz muito sentido ter valor negativo aqui). Por exemplo, podemos escolher:

Passo 5

Com esses valores de , temos as seguintes equações de elipses:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
Essas equações representam cinco elipses de tamanhos crescentes. Para desenhar o mapa de contorno, você pode plotar cada uma dessas elipses no plano , observando que à medida que aumenta, as elipses ficam maiores.

Resposta

Pronto! Agora você tem um mapa de contorno da função com cinco curvas de nível representando elipses de diferentes tamanhos, correspondendo aos valores de e .

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