Considere a função f(x, y) = x^2 + 9y^2 + 1.
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos fazer um mapa de contorno com pelo menos 5 curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis, especificamente na visualização gráfica das funções através das chamadas curvas de nível ou contornos. Para resolver, vamos identificar diferentes valores de e desenhar as curvas correspondentes no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Matemáticamente, isso significa resolver a equação para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos escolher 5 valores diferentes para . Para facilitar, vamos escolher valores igualmente espaçados. Por exemplo, podemos escolher . Assim, teremos cinco curvas de nível:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada equação para em termos de ou vice-versa. A função dada é:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Para cada valor de :
  1. Para :
A única solução é e . Essa curva é apenas o ponto .
  1. Para :
Dividindo por 4:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos e .
  1. Para :
Dividindo por 8:
Outra elipse, maior que a anterior, com semi-eixos e .
  1. Para :
Dividindo por 12:
Elipse ainda maior, com semi-eixos e .
  1. Para :
Dividindo por 16:
A elipse mais ampla das cinco, com semi-eixos e .

Passo 5

Com essas equações, podemos desenhar as curvas de nível no plano . Cada curva é uma elipse centrada na origem , e conforme aumenta, as elipses ficam maiores. Lembre-se que para , temos apenas o ponto .

Resposta

Feito isso, o mapa de contorno de com 5 curvas de nível consiste em uma série de elipses centradas na origem, correspondentes aos valores , sendo que cada elipse maior representa um valor maior de .

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