Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
(Use o teste das séries alternadas)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série alternada
. O conteúdo aqui é teste de séries alternadas (ou teste de Leibniz), que exige verificar se o termo geral em valor absoluto
é positivo, decrescente e tende a zero.
Passo 2
Identificação do termo geral: o módulo do termo da série é
para todo
, e o sinal alterna com
.
Passo 3
Verificação do limite: calculamos
Passo 4
Monotonicidade: considere a função
. Sua derivada é
que é negativa para
, ou seja, para
. Logo
é decrescente para
(e podemos verificar numericamente os primeiros termos para garantir o decrescimento desde o início ou ignorar finitos).
Passo 5
Conclusão pelo teste de Leibniz: como
,
decresce a partir de certo
e
, a série alternada converge. Além disso não converge absolutamente (
), logo a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de séries alternadas (Leibniz).