Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 (Use o teste das séries alternadas)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+4. O conteúdo aqui é teste de séries alternadas (ou teste de Leibniz), que exige verificar se o termo geral em valor absoluto an=n^2n^3+4 é positivo, decrescente e tende a zero.

Passo 2

Identificação do termo geral: o módulo do termo da série é an=n^2n^3+4>0 para todo n>=1, e o sinal alterna com (-1)^n+1.

Passo 3

Verificação do limite: calculamos
limntoinftyan=limntoinftyn^2n^3+4=limntoinfty1n+4/n^2=0

Passo 4

Monotonicidade: considere a função f(x)=x^2x^3+4. Sua derivada é
f'(x)=x(-x^3+8)(x^3+4)^2,
que é negativa para x^3>8, ou seja, para x>2. Logo an é decrescente para n>=3 (e podemos verificar numericamente os primeiros termos para garantir o decrescimento desde o início ou ignorar finitos).

Passo 5

Conclusão pelo teste de Leibniz: como an>0, an decresce a partir de certo n e anto0, a série alternada converge. Além disso não converge absolutamente ( ansim1/n), logo a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de séries alternadas (Leibniz).

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