Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
n2 n+1n=1^+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando diferenciação, se a sequência an=n2n+1 é estritamente crescente ou decrescente. Isso envolve considerar a função contínua f(x)=x2x+1 e analisar sua derivada para decidir o monotonicidade da sequência.

Passo 2

Definimos f(x)=x2x+1 para x>0. Para achar f'(x), usamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 Aqui temos u(x)=x e v(x)=2x+1, com u'(x)=1 e v'(x)=2.
Aplicando a fórmula, obtemos
f'(x)=1cdot(2x+1)-xcdot2(2x+1)^2=2x+1-2x(2x+1)^2=1(2x+1)^2

Passo 3

Como (2x+1)^2>0 para todo x>0, concluímos que f'(x)>0 nesse domínio. Ou seja, f é estritamente crescente em (0,+infty).
Logo, ao tomar os valores inteiros x=n, vemos que an=f(n) também forma uma sequência estritamente crescente.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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