Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, usando diferenciação, se a sequência
é estritamente crescente ou decrescente. Isso envolve considerar a função contínua
e analisar sua derivada para decidir o monotonicidade da sequência.
Passo 2
Definimos
para
. Para achar
, usamos a regra do quociente: se
, então
Aqui temos
e
, com
e
.
Aplicando a fórmula, obtemos
Aplicando a fórmula, obtemos
Passo 3
Como
para todo
, concluímos que
nesse domínio. Ou seja,
é estritamente crescente em
.
Logo, ao tomar os valores inteiros , vemos que
também forma uma sequência estritamente crescente.
Logo, ao tomar os valores inteiros
Resposta
A sequência é estritamente crescente.