Considere a função f(x, y) = x^2 - y^2.
Faça um mapa de contorno de f com, no mínimo, 5 curvas de nível.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a função . O que a gente precisa fazer é criar um mapa de contorno dessa função, que basicamente é um conjunto de curvas que mostram onde a função tem valores constantes. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como escolher diferentes valores para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as curvas de nível. Essas curvas são linhas no plano onde a função tem o mesmo valor constante. Ou seja, pra cada valor , a curva de nível é definida por . Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 3

Agora, vamos escolher pelo menos cinco valores diferentes para para criar as curvas de nível. Vou escolher valores simétricos em torno de zero para facilitar a visualização. Vamos usar: , , , , e .

Passo 4

Vamos escrever as equações das curvas de nível para cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :

Passo 5

Vamos analisar cada uma dessas equações:
  1. Para e : Essas são equações de hipérboles que abrem na direção do eixo , porque a variável está positiva no lado esquerdo da equação.
  2. Para : Essa equação representa duas retas, e , que são as diagonais do plano.
  3. Para e : Essas também são hipérboles, mas essas abrem na direção do eixo , já que a variável está positiva no lado esquerdo da equação.

Resposta

Então, o mapa de contorno da função consiste em cinco curvas de nível:
  • Duas hipérboles que abrem ao longo do eixo para e .
  • Duas hipérboles que abrem ao longo do eixo para e .
  • Duas retas diagonais e para .
Essas curvas juntas formam o mapa de contorno, mostrando como a função se comporta em diferentes regiões do plano .

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