Considere a função
.
Faça um mapa de contorno de
com, no mínimo, 5 curvas de nível.
Faça um mapa de contorno de
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a função
. O que a gente precisa fazer é criar um mapa de contorno dessa função, que basicamente é um conjunto de curvas que mostram onde a função tem valores constantes. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como escolher diferentes valores para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as curvas de nível. Essas curvas são linhas no plano
onde a função
tem o mesmo valor constante. Ou seja, pra cada valor
, a curva de nível é definida por
. Essas curvas nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 3
Agora, vamos escolher pelo menos cinco valores diferentes para
para criar as curvas de nível. Vou escolher valores simétricos em torno de zero para facilitar a visualização. Vamos usar:
,
,
,
, e
.
Passo 4
Vamos escrever as equações das curvas de nível para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Vamos analisar cada uma dessas equações:
- Para
e : Essas são equações de hipérboles que abrem na direção do eixo , porque a variável está positiva no lado esquerdo da equação. - Para
: Essa equação representa duas retas, e , que são as diagonais do plano. - Para
e : Essas também são hipérboles, mas essas abrem na direção do eixo , já que a variável está positiva no lado esquerdo da equação.
Resposta
Então, o mapa de contorno da função
consiste em cinco curvas de nível:
- Duas hipérboles que abrem ao longo do eixo
para e . - Duas hipérboles que abrem ao longo do eixo
para e . - Duas retas diagonais
e para .
Essas curvas juntas formam o mapa de contorno, mostrando como a função se comporta em diferentes regiões do plano
.