Considere a função f(x, y)=4 x^{2}-3 y^{2}+2 x y no quadrado unitário 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1.
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de f em cada aresta do quadrado
(b) Encontre os valores máximo e mínimo de f no quadrado inteiro

Passo 1

O enunciado pede para otimizar a função
f(x,y) = 4x^{2} - 3y^{2} + 2xy
no quadrado unitário 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1.
Para isso vamos:
  1. Examinar separadamente cada aresta \ell_{1},\ell_{2},\ell_{3},\ell_{4}, reduzindo f a uma função de uma variável e achar extremos nesse intervalo.
  2. Buscar pontos críticos no interior resolvendo \nabla f=0.
  3. Comparar todos os valores encontrados para determinar o máximo e o mínimo globais.

Passo 2

Na aresta \ell_{1}\colon y=0,\;0\le x\le 1,
f(x,0) = 4x^{2}.
É um parabola convexa em x. Logo
\min_{\ell_{1}} f = f(0,0)=0, \qquad \max_{\ell_{1}} f = f(1,0)=4.

Passo 3

Na aresta \ell_{2}\colon x=1,\;0\le y\le 1,
f(1,y) = 4 - 3y^{2} + 2y = -3y^{2} + 2y + 4.
É uma parábola côncava, vértice em y = -\tfrac{2}{2\cdot(-3)} = \tfrac{1}{3}.
f\bigl(1,\tfrac13\bigr) = -3\bigl(\tfrac13\bigr)^{2} + 2\cdot\tfrac13 + 4 = \tfrac{13}{3}.
Nos extremos do intervalo y=0 e y=1 temos f(1,0)=4 e f(1,1)=3.
Logo
\min_{\ell_{2}} f = f(1,1)=3, \qquad \max_{\ell_{2}} f = f\bigl(1,\tfrac13\bigr)=\tfrac{13}{3}.

Passo 4

Na aresta \ell_{3}\colon y=1,\;0\le x\le 1,
f(x,1) = 4x^{2} + 2x - 3.
É parábola convexa em x com vértice em x=-\tfrac{2}{2\cdot4}=-\tfrac14 (fora do intervalo).
Nos extremos x=0 e x=1 obtemos
f(0,1)=-3, \qquad f(1,1)=3.
Logo
\min_{\ell_{3}} f = -3, \qquad \max_{\ell_{3}} f = 3.

Passo 5

Na aresta \ell_{4}\colon x=0,\;0\le y\le 1,
f(0,y) = -3y^{2}.
É decrescente em y de 0 até -3. Então
\min_{\ell_{4}} f = f(0,1)=-3, \qquad \max_{\ell_{4}} f = f(0,0)=0.

Passo 6

No interior do quadrado buscamos \nabla f=0:
f_{x}=8x+2y=0, \quad f_{y}=-6y+2x=0.
Da primeira vem y=-4x; da segunda y=\tfrac{x}{3}. A única solução é x=0,y=0, que é canto do quadrado.

Passo 7

Reunindo todos os candidatos:
– Em (0,0): f=0.
– Nas arestas: valores mínimos -3 (em (0,1)) e máximos \tfrac{13}{3} (em (1,\tfrac13)).
Nenhum interior produz valor maior ou menor.

Resposta

(a) Em cada aresta \ell_{i}: \ell_{1}\colon\min=0,\;\max=4. \ell_{2}\colon\min=3,\;\max=\tfrac{13}{3}. \ell_{3}\colon\min=-3,\;\max=3. \ell_{4}\colon\min=-3,\;\max=0.
(b) No quadrado inteiro: \displaystyle \min f=-3 em (0,1), \displaystyle \max f=\tfrac{13}{3} em \bigl(1,\tfrac13\bigr).

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