Considere a função
no quadrado unitário
.
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de
em cada aresta do quadrado
(b) Encontre os valores máximo e mínimo de
no quadrado inteiro
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de
(b) Encontre os valores máximo e mínimo de
Passo 1
O enunciado pede para otimizar a função
no quadrado unitário
,
.
Para isso vamos:
Para isso vamos:
- Examinar separadamente cada aresta
, reduzindo a uma função de uma variável e achar extremos nesse intervalo. - Buscar pontos críticos no interior resolvendo
. - Comparar todos os valores encontrados para determinar o máximo e o mínimo globais.
Passo 2
Na aresta
,
É um parabola convexa em
. Logo
Passo 3
Na aresta
,
É uma parábola côncava, vértice em
.
Nos extremos do intervalo
e
temos
e
.
Logo
Logo
Passo 4
Na aresta
,
É parábola convexa em
com vértice em
(fora do intervalo).
Nos extremos e
obtemos
Nos extremos
Logo
Passo 5
Na aresta
,
É decrescente em
de
até
. Então
Passo 6
No interior do quadrado buscamos
:
Da primeira vem
; da segunda
. A única solução é
, que é canto do quadrado.
Passo 7
Reunindo todos os candidatos:
– Em :
.
– Nas arestas: valores mínimos (em
) e máximos
(em
).
Nenhum interior produz valor maior ou menor.
– Em
– Nas arestas: valores mínimos
Nenhum interior produz valor maior ou menor.
Resposta
(a) Em cada aresta
:
.
.
.
.
(b) No quadrado inteiro:
em
,
em
.