Considere a função f(x, y)=x^{2} y-\ln (5 x-3 y) e o ponto P=(2,3).
(a) Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto P.
(b) Utilizando a aproximação linear local de f em P, determine o valor aproximado de f(1,98 ; 3,01).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^2y-\ln(5x-3y) e o ponto P=(2,3). Precisamos de (a) equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) em P e (b) usar a aproximação linear (linearização) de f em P para estimar f(1,98,3,01). Para isso vamos calcular as derivadas parciais e aplicar a fórmula do plano tangente e da linearização.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2y-\ln(5x-3y)\bigr) =2xy-\frac{5}{5x-3y},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2y-\ln(5x-3y)\bigr) =x^2+\frac{3}{5x-3y}.

Passo 3

Avaliar f, f_x e f_y em P=(2,3). Primeiro,
5x-3y\bigl|_{(2,3)\!}=5\cdot2-3\cdot3=10-9=1.
Logo,
f(2,3)=2^2\cdot3-\ln1=12-0=12,
f_x(2,3)=2\cdot2\cdot3-\frac{5}{1}=12-5=7,
f_y(2,3)=2^2+\frac{3}{1}=4+3=7.

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente em P. A fórmula é
z = f(2,3) + f_x(2,3)\,(x-2) + f_y(2,3)\,(y-3).
Substituindo os valores:
z = 12 + 7(x-2) + 7(y-3).
Em forma expandida:
z = 7x + 7y -23.

Passo 5

Para aproximar f(1,98,3,01) usamos a linearização
L(x,y)=12 + 7(x-2) + 7(y-3).
Aqui \Delta x=1,98-2=-0,02 e \Delta y=3,01-3=0,01. Então
L(1,98,3,01)=12 + 7(-0,02) + 7(0,01) =12 -0,14 +0,07 =11,93.

Resposta

(a) z = 12 + 7(x-2) + 7(y-3), ou z=7x+7y-23.
(b) f(1,98,3,01)\approx11,93.

Exercícios relacionados