Sabendo que
(A-y) x=(y+1)\left(c-y^{B}\right),
\operatorname{com} A, B \in \mathbb{N}, é a solução geral implícita da \mathrm{EDO}\left(y^{2}-1\right)+2\left(x-y(1+y)^{2}\right) y^{\prime}=0, determine o valor de A+B.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
(y^2 - 1) + 2\bigl(x - y(1+y)^2\bigr)\,y' = 0
e afirma que sua solução geral implícita é
(A - y)\,x = (y+1)\bigl(c - y^B\bigr),
com A,B\in\mathbb{N}. Nosso objetivo é identificar A e B e calcular A+B. Para isso, vamos reescrever a EDO em forma diferencial exata, achar o fator integrante dependente só de y, integrar e comparar com a solução fornecida.

Passo 2

Escrevemos a EDO em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y) = y^2 - 1, \qquad N(x,y) = 2\bigl(x - y(1+y)^2\bigr).
Checamos a não exatidão inicial: \partial M/\partial y = 2y, \partial N/\partial x = 2,
logo não são iguais.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(y). Como
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} = \frac{2 - 2y}{y^2 - 1} = -\frac{2}{y+1},
temos
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{y+1}\,dy\Bigr) = (y+1)^{-2}.
Multiplicando a EDO por (y+1)^{-2} torna-a exata.

Passo 4

Depois de multiplicar,
\widetilde M = \frac{y^2-1}{(y+1)^2} = \frac{y-1}{y+1}, \qquad \widetilde N = 2\frac{x}{(y+1)^2} - 2y.
Procuramos \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = \widetilde M e \partial\Phi/\partial y = \widetilde N.
Integrando em x:
\Phi(x,y) = x\,\frac{y-1}{y+1} + h(y).
Derivando em y e igualando a \widetilde N:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = x\cdot\frac{2}{(y+1)^2} + h'(y) \overset!= 2\frac{x}{(y+1)^2} - 2y \;\Longrightarrow\; h'(y) = -2y \;\Longrightarrow\; h(y) = -y^2 + C.

Passo 5

A função potencial fica
\Phi(x,y) = x\frac{y-1}{y+1} - y^2 = \text{const}.
Multiplicando ambos os lados por (y+1) e reorganizando,
x(y-1) - y^2(y+1) = C(y+1) \;\Longrightarrow\; (1-y)\,x = (y+1)\bigl(-C - y^2\bigr).
Definindo c = -C, obtemos exatamente
(A-y)\,x = (y+1)\bigl(c - y^B\bigr)
com A = 1 e B = 2.

Resposta

A+B = 1 + 2 = 3.

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