Trace a curva com equações paramétricas
\begin{aligned} & x=\sqrt{1-0,25 \cos ^{2} 10 t} \cos t \\\ & y=\sqrt{1-0,25 \cos ^{2} 10 t} \operatorname{sen} t \\\ & z=0,5 \cos 10 t \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em \mathbb{R}^3
x(t)=\sqrt{1-0,25\cos^2(10t)}\;\cos t,\quad y(t)=\sqrt{1-0,25\cos^2(10t)}\;\operatorname{sen} t,\quad z(t)=0,5\cos(10t),
e pede esboçar (trace) essa curva. Vamos usar: produto escalar para achar a distância ao origem, coordenadas esféricas para interpretar latitude/longitude, análise de máximos e mínimos e periodicidade para descrever o formato.

Passo 2

Mostramos que a curva está contida na esfera de raio 1 centrada na origem. De fato,
x^2+y^2 \;=\;\bigl(\sqrt{1-0,25\cos^2(10t)}\bigr)^2 \;=\;1-0,25\cos^2(10t),
e
z^2=(0,5\cos(10t))^2=0,25\cos^2(10t).
Somando,
x^2+y^2+z^2 =1-0,25\cos^2(10t)+0,25\cos^2(10t) =1,
ou seja a cada t o ponto (x,y,z) satisfaz \,x^2+y^2+z^2=1.

Passo 3

Em coordenadas esféricas convencionais (r,\theta,\varphi) com
x=r\sin\varphi\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi\operatorname{sen}\theta,\quad z=r\cos\varphi,
temos r(t)=1, \theta(t)=t e
\cos\varphi(t)=z(t)=0,5\cos(10t) \quad\Longrightarrow\quad \varphi(t)=\operatorname{arccos}\bigl(0,5\cos(10t)\bigr).
Isto mostra que o “longitude” varia uniformemente com t e a “latitude” oscila sinusoidalmente.

Passo 4

Determine os valores extremos de z e do raio projetado no plano xy.
  • Como z(t)=0,5\cos(10t), varia entre -0,5 e +0,5.
  • O raio no plano xy é
    \displaystyle \rho(t)=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{1-0,25\cos^2(10t)},
    que varia entre \sqrt{1-0,25}= \sqrt{0,75}\approx0,866 e 1.
Logo o traço oscila entre latitude \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}5)=60^\circ e \varphi=\operatorname{arccos}(-0{,}5)=120^\circ, chegando à “cinta” em \pm30^\circ de latitude.

Passo 5

Período e número de oscilações:
  • O parâmetro t corre de 0 a 2\pi para fechar toda a volta em longitude.
  • A função \cos(10t) completa 10 ciclos quando t vai de 0 a 2\pi.
Portanto a curva é fechada e tem 10 ondulações de latitude à medida que dá uma volta completa em longitude.

Passo 6

Como esboçar na prática:
  1. Desenhe a esfera de raio 1.
  2. Marque a linha equatorial z=0.
  3. Sobre a esfera, trace um caminho que gira 360\circ em torno do eixo z (longitude t), mas sobe e desce até \pm 30\circ de latitude, completando 10 subidas e 10 descidas regulares.
O resultado é uma “cinta ondulada” de 10 cristas ao redor da esfera.

Resposta

A curva é uma curva fechada sobre a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1, em que o ângulo azimutal (longitude) é \theta=t e o ângulo polar (colatitude) é \varphi=\operatorname{arccos}(0,5\cos(10t)). Ela completa uma volta em longitude enquanto faz 10 oscilações em latitude, entre \pm 30\circ.

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