Trace a curva com equações paramétricas
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica em
e pede esboçar (trace) essa curva. Vamos usar: produto escalar para achar a distância ao origem, coordenadas esféricas para interpretar latitude/longitude, análise de máximos e mínimos e periodicidade para descrever o formato.
Passo 2
Mostramos que a curva está contida na esfera de raio 1 centrada na origem. De fato,
e
Somando,
ou seja a cada
o ponto
satisfaz
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas convencionais
com
temos
,
e
Isto mostra que o “longitude” varia uniformemente com
e a “latitude” oscila sinusoidalmente.
Passo 4
Determine os valores extremos de
e do raio projetado no plano
.
- Como
, varia entre e . - O raio no plano
é
que varia entree .
Logo o traço oscila entre latitude
e
, chegando à “cinta” em
de latitude.
Passo 5
Período e número de oscilações:
- O parâmetro
corre de a para fechar toda a volta em longitude. - A função
completa 10 ciclos quando vai de a .
Portanto a curva é fechada e tem 10 ondulações de latitude à medida que dá uma volta completa em longitude.
Passo 6
Como esboçar na prática:
- Desenhe a esfera de raio 1.
- Marque a linha equatorial
. - Sobre a esfera, trace um caminho que gira
em torno do eixo (longitude ), mas sobe e desce até de latitude, completando 10 subidas e 10 descidas regulares.
O resultado é uma “cinta ondulada” de 10 cristas ao redor da esfera.
Resposta
A curva é uma curva fechada sobre a esfera unitária
, em que o ângulo azimutal (longitude) é
e o ângulo polar (colatitude) é
. Ela completa uma volta em longitude enquanto faz 10 oscilações em latitude, entre
.