Sabendo que
, é a solução geral implícita da
, determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e afirma que sua solução geral implícita é
com
. Nosso objetivo é identificar
e
e calcular
. Para isso, vamos reescrever a EDO em forma diferencial exata, achar o fator integrante dependente só de
, integrar e comparar com a solução fornecida.
Passo 2
Escrevemos a EDO em forma diferencial
onde
Checamos a não exatidão inicial:
,
,
logo não são iguais.
logo não são iguais.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. Como
temos
Multiplicando a EDO por
torna-a exata.
Passo 4
Depois de multiplicar,
Procuramos
tal que
e
.
Integrando em :
Integrando em
Derivando em
e igualando a
:
Passo 5
A função potencial fica
Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando,
Definindo
, obtemos exatamente
com
e
.