Considere a função
.
- Determine as derivadas parciais
.
- Encontre o gradiente
.
- Determine os pontos críticos da função e classifique-os como mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A gente tem a função
. O assunto aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, gradiente e pontos críticos. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e utilizar o gradiente para achar e classificar os pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável enquanto mantém a outra fixa.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função e indica a direção de maior crescimento da função.
Então, temos:
Passo 4
Chegou a hora de encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde o gradiente é igual a zero, ou seja, onde todas as derivadas parciais são zero.
Então, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar as equações dividindo por 2:
Resolvendo esse sistema, somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Para classificar o ponto crítico
, vamos usar a segunda derivada, ou seja, a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
A matriz Hessiana fica:
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo (
), isso indica que o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico da função é
e ele é classificado como um ponto de sela.