Considere a função f(x, y)=x^2-y^2+2 x y.
  1. Determine as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
  2. Encontre o gradiente nabla f(x, y).
  3. Determine os pontos críticos da função e classifique-os como mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A gente tem a função . O assunto aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, gradiente e pontos críticos. Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e utilizar o gradiente para achar e classificar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x(x^2 - y^2 + 2xy) = 2x + 2y em relação a partial fpartial y = partialpartial y(x^2 - y^2 + 2xy) = -2y + 2x e . As derivadas parciais mostram como a função muda quando a gente varia uma variável enquanto mantém a outra fixa.
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x + 2y, -2y + 2x) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função e indica a direção de maior crescimento da função.
Então, temos:

Passo 4

Chegou a hora de encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde o gradiente é igual a zero, ou seja, onde todas as derivadas parciais são zero.
Então, resolvemos o sistema:
2x + 2y = 0
-2y + 2x = 0
Podemos simplificar as equações dividindo por 2:
x + y = 0
x - y = 0
Resolvendo esse sistema, somando as duas equações:
2x = 0 Rightarrow x = 0
Substituindo 0 + y = 0 Rightarrow y = 0 na primeira equação:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para classificar o ponto crítico fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2 , vamos usar a segunda derivada, ou seja, a matriz Hessiana. A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função.
Calculando as segundas derivadas:
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 2
H = fxx & fxy fxy & fyy = 2 & 2 2 & -2
A matriz Hessiana fica:
det(H) = (2)(-2) - (2)(2) = -4 - 4 = -8
Calculamos o determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo ( ), isso indica que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é e ele é classificado como um ponto de sela.

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