Determine os limites indicados com o auxílio das regras de LHospital:
lim x 0(cos (3 x))^5 / x

Passo 1

Resumo: o enunciado pede limxto0(cos(3x))^5/x. Isso é uma indeterminação do tipo 1^infty, e vamos usar l’Hôpital via transformação para forma exponencial.

Passo 2

Reescrever a expressão como exponencial usando logaritmo: escrevemos
(cos(3x))^5/x=expl(5ln(cos(3x))xr)
Então o limite original vale expl(limxto0tfrac5ln(cos(3x))xr).

Passo 3

Identificar a forma 0/0 em A(x)=tfrac5ln(cos(3x))x: quando xto0 temos ln(cos(3x))to0 e xto0, logo podemos aplicar l’Hôpital em A(x).

Passo 4

Aplicar l’Hôpital em A(x):
  • Numerador: ddxln(cos(3x))=-3tan(3x)
  • Denominador: ddxx=1
    Portanto
limxto0A(x)=5limxto0(-3tan(3x))=-15cdot0=0

Passo 5

Concluir o limite original: como limxto0A(x)=0, temos
limxto0(cos(3x))^5/x=exp(0)=1

Resposta

1

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