Considere a função
f(x, y)=x y^2x^2+y^2, forall(x, y) neq(0,0)
Mostre que
x partial fpartial x+y partial fpartial y=f(x, y)

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x y^2x^2+y^2 definida para (x,y)neq(0,0). O objetivo é mostrar que xpartial fpartial x+ypartial fpartial y=f(x,y). Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais e a regra do quociente.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, definimos u(x,y)=x y^2 e v(x,y)=x^2+y^2. Então
partial fpartial x=ux,v-u,vxv^2= y^2(x^2+y^2)-x y^2cdot2x(x^2+y^2)^2= y^2l(x^2+y^2-2x^2r)(x^2+y^2)^2= y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, usamos uy=2xy e vy=2y. Assim
partial fpartial y=2xy(x^2+y^2)-x y^2cdot2y(x^2+y^2)^2= 2x^3y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora formamos xpartial fpartial x+ypartial fpartial y:
xy^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2+y2x^3y(x^2+y^2)^2 =x y^2(y^2-x^2)+2x^3y^2(x^2+y^2)^2 =x(y^4-x^2y^2+2x^2y^2)(x^2+y^2)^2 =x(y^4+x^2y^2)(x^2+y^2)^2 =x y^2(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 =x y^2x^2+y^2=f(x,y)

Resposta

Foi verificado que xpartial fpartial x+ypartial fpartial y=f(x,y).

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