Considere a função f(x, y)=x^3-y^3+6 x y+2.
(1, 5) Encontre os valores extremos absolutos de f no conjunto
K=(x, y) in R^2: x >= 0, x-2 <= y <= 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de f(x,y)=x{3}−y{3}+6xy+2 num conjunto compacto K definido por x≥0 e x−2≤y≤0. Para isso, vamos usar que, em um domínio compacto, todo extremo absoluto ocorre ou em pontos críticos da função no interior ou ao longo da fronteira de K.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
∂f∂x=3x^2+6y,
∂f∂y=-3y^2+6x
Para pontos críticos, igualamos a zero: 3x^{2}+6y=0 e −3y^{2}+6x=0.

Passo 3

Da primeira equação vem y=−x^{2}/2. Substituindo na segunda, temos:
x=y^22=(−x^2/2)^22=x^48
Logo x(x^{3}−8)=0, ou seja x=0 ou x=2. Se x=0 então y=0; se x=2 então y=−2.

Passo 4

Verificamos quais desses pontos estão em K: para (0,0) temos 0≥0 e 0−2≤0≤0, então (0,0)∈K. Para (2,−2) seria −2≥2−2=0 (falso), então (2,−2)∉K. Assim não há pontos críticos no interior de K, apenas (0,0) na fronteira.

Passo 5

Agora analisamos cada parte da fronteira:
  1. Segmento x=0, y∈[−2,0]:
f(0,y)=−y^3+2
Como f’(y)=−3y^{2}≤0, f é decrescente em y. Então máximo em y=−2 dá f(0,−2)=10, mínimo em y=0 dá f(0,0)=2.

Passo 6

  1. Segmento y=0, x∈[0,2]:
f(x,0)=x^3+2
Como f’(x)=3x^{2}≥0, f é crescente em x. Logo mínimo em x=0 dá f(0,0)=2, máximo em x=2 dá f(2,0)=10.

Passo 7

  1. Segmento y=x−2, x∈[0,2]:
Substituindo y=x−2 em f,
f(x,x−2)=x^3−(x−2)^3+6x(x−2)+2=12x^2−24x+10
Isto é uma parábola com vértice em x=\frac{24}{2·12}=1, dentro do intervalo. Em x=1 vale f(1,−1)=−2. Nos extremos x=0 ou 2, f=10.

Passo 8

Reunindo todos os candidatos temos:
(0,−2)→10,
(2,0)→10,
(0,0)→2,
(1,−1)→−2.
Portanto o máximo absoluto é 10 e o mínimo absoluto é −2.

Resposta

Máximo absoluto: 10, nos pontos (0,−2) e (2,0). Mínimo absoluto: −2, no ponto (1,−1).

Exercícios relacionados