Considere a função
.
Encontre os valores extremos absolutos de f no conjunto
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos de f(x,y)=x{3}−y{3}+6xy+2 num conjunto compacto K definido por x≥0 e x−2≤y≤0. Para isso, vamos usar que, em um domínio compacto, todo extremo absoluto ocorre ou em pontos críticos da função no interior ou ao longo da fronteira de K.
Passo 2
Calculamos o gradiente de f:
Para pontos críticos, igualamos a zero: 3x^{2}+6y=0 e −3y^{2}+6x=0.
Passo 3
Da primeira equação vem y=−x^{2}/2. Substituindo na segunda, temos:
Logo x(x^{3}−8)=0, ou seja x=0 ou x=2. Se x=0 então y=0; se x=2 então y=−2.
Passo 4
Verificamos quais desses pontos estão em K: para (0,0) temos 0≥0 e 0−2≤0≤0, então (0,0)∈K. Para (2,−2) seria −2≥2−2=0 (falso), então (2,−2)∉K. Assim não há pontos críticos no interior de K, apenas (0,0) na fronteira.
Passo 5
Agora analisamos cada parte da fronteira:
- Segmento x=0, y∈[−2,0]:
Como f’(y)=−3y^{2}≤0, f é decrescente em y. Então máximo em y=−2 dá f(0,−2)=10, mínimo em y=0 dá f(0,0)=2.
Passo 6
- Segmento y=0, x∈[0,2]:
Como f’(x)=3x^{2}≥0, f é crescente em x. Logo mínimo em x=0 dá f(0,0)=2, máximo em x=2 dá f(2,0)=10.
Passo 7
- Segmento y=x−2, x∈[0,2]:
Substituindo y=x−2 em f,
Isto é uma parábola com vértice em x=\frac{24}{2·12}=1, dentro do intervalo. Em x=1 vale f(1,−1)=−2. Nos extremos x=0 ou 2, f=10.
Passo 8
Reunindo todos os candidatos temos:
(0,−2)→10,
(2,0)→10,
(0,0)→2,
(1,−1)→−2.
(2,0)→10,
(0,0)→2,
(1,−1)→−2.
Portanto o máximo absoluto é 10 e o mínimo absoluto é −2.
Resposta
Máximo absoluto: 10, nos pontos (0,−2) e (2,0). Mínimo absoluto: −2, no ponto (1,−1).