Encontre a derivada das seguintes funções:
(k) f(x)=sen(cos (x^2+1))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sinl(cos(x^2+1)r)
Aqui vamos usar a regra da cadeia, que diz que se f(x)=g(u(x)) então
f'(x)=g'(u(x)),u'(x)

Passo 2

Podemos enxergar três camadas de função:
  1. g(u)=sin(u) (camada externa),
  2. h(v)=cos(v) (camada intermediária),
  3. v(x)=x^2+1 (camada interna).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada camada:
,g'(u)=cos(u),
,h'(v)=-sin(v)
e
,v'(x)=2x.
Agora aplicamos a regra da cadeia fazendo
f'(x) = g'l(h(v(x))r),times,h'l(v(x)r),times,v'(x) = cos!l(cos(x^2+1)r),l(-sin(x^2+1)r),cdot2x

Resposta

f'(x)=-2x,cosl(cos(x^2+1)r),sin(x^2+1)

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