Encontre a derivada das seguintes funções:
(e) f(x)=x cdot sec (x)x^2+2 x+3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=xsec(x)x^2+2x+3
O assunto é derivada de quociente de funções, onde vamos usar a regra do quociente
gl(uvgr)'=u'v - uv'v^2,
além da regra do produto e da derivada de sec(x).

Passo 2

Identificamos
u(x)=xsec(x), v(x)=x^2+2x+3
Derivando cada um:
– Pela regra do produto,
u'(x)=l(xsec(x)r)' =1cdotsec(x)+xcdotl(sec(x)tan(x)r) =sec(x)+xsec(x)tan(x)
– Derivando o polinômio,
v'(x)=2x+2

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =l[sec(x)+xsec(x)tan(x)r],(x^2+2x+3) -l[xsec(x)r],(2x+2)(x^2+2x+3)^2

Passo 4

Para simplificar, fatoramos sec(x) no numerador:
f'(x) =sec(x)l[(1+xtan(x))(x^2+2x+3)-x(2x+2)r](x^2+2x+3)^2
Expandindo o que está no colchete:
(1)(x^2+2x+3)-(2x^2+2x) + xtan(x),(x^2+2x+3) = -x^2+3 + xtan(x),(x^2+2x+3)

Passo 5

Logo a forma final simplificada é
f'(x) =sec(x)l[-x^2+3 + xtan(x),(x^2+2x+3)r](x^2+2x+3)^2

Resposta

f'(x) =sec(x)l[-x^2+3 + xtan(x),(x^2+2x+3)r](x^2+2x+3)^2

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