Sejam f(x)=ll2 x^2-1, & se x<1 2-x^2, & se x >= 1 e g(x)=x-12.
(b) Calcule (f circ g)^prime(x) e (g circ f)^prime(x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve funções compostas e derivadas. Aqui, temos duas funções: f(x) , que é definida de maneira diferente dependendo do valor de x , e g(x) = x - 12 . Precisamos calcular as derivadas de (f circ g)(x) e (g circ f)(x) . Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas e entender como aplicar as regras de derivação em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (f circ g)(x) . Isso é igual a f(g(x)) , ou seja, aplicamos a função g e depois a função f no resultado. Vamos calcular f(g(x)) .
Sabemos que:
g(x) = x - 12
Agora, substituímos g(x) na função f :
f(g(x)) = f(x - 12)

Passo 3

Precisamos ver em qual parte da definição de f(x) o valor x - 12 se encontra, ou seja, se é menor que 1 ou maior ou igual a 1. Isso nos dirá qual expressão de f(x) usar.
x - 12 < 1 Rightarrow x - 1 < 2 Rightarrow x < 3
x - 12 >= 1 Rightarrow x - 1 >= 2 Rightarrow x >= 3
Portanto, para x < 3 , usamos f(x) = 2x^2 - 1 , e para x >= 3 , usamos f(x) = 2 - x^2 .

Passo 4

Agora, vamos expressar f(g(x)) de acordo com os intervalos encontrados:
Para x < 3 :
f(g(x)) = 2(x - 12)^2 - 1 = 2(x^2 - 2x + 14) - 1 = x^2 - 2x + 12 - 1 = x^2 - 2x - 12
Para x >= 3 :
f(g(x)) = 2 - (x - 12)^2 = 2 - x^2 - 2x + 14 = 8 - x^2 + 2x - 14 = -x^2 + 2x + 74

Passo 5

Agora, vamos derivar f(g(x)) em cada intervalo.
Para x < 3 :
ddx ( x^2 - 2x - 12 ) = 2x - 22 = x - 1
Para x >= 3 :
ddx ( -x^2 + 2x + 74 ) = -2x + 24 = -x + 12

Passo 6

Agora, vamos calcular (g circ f)(x) , que é g(f(x)) .
Primeiro, substituímos f(x) em g :
Para x < 1 :
f(x) = 2x^2 - 1 Rightarrow g(f(x)) = 2x^2 - 1 - 12 = 2x^2 - 22 = x^2 - 1
Para x >= 1 :
f(x) = 2 - x^2 Rightarrow g(f(x)) = 2 - x^2 - 12 = 1 - x^22

Passo 7

Agora, vamos derivar g(f(x)) em cada intervalo.
Para x < 1 :
ddx (x^2 - 1) = 2x
Para x >= 1 :
ddx ( 1 - x^22 ) = -2x2 = -x

Resposta

As derivadas são:
(f circ g)^prime(x) = x - 1, & se x < 3 -x + 12, & se x >= 3
e
(g circ f)^prime(x) = 2x, & se x < 1 -x, & se x >= 1

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