Sejam e g(x)=x-12.
(b) Calcule (f circ g)^prime(x) e (g circ f)^prime(x).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve funções compostas e derivadas. Aqui, temos duas funções: f(x) , que é definida de maneira diferente dependendo do valor de x , e g(x) = x - 12 . Precisamos calcular as derivadas de (f circ g)(x) e (g circ f)(x) . Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções compostas e entender como aplicar as regras de derivação em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa (f circ g)(x) . Isso é igual a f(g(x)) , ou seja, aplicamos a função g e depois a função f no resultado. Vamos calcular f(g(x)) .
Sabemos que: g(x) = x - 12
Agora, substituímos g(x) na função f :
f(g(x)) = f(x - 12)
Passo 3
Precisamos ver em qual parte da definição de f(x) o valor x - 12 se encontra, ou seja, se é menor que 1 ou maior ou igual a 1. Isso nos dirá qual expressão de f(x) usar.
x - 12 < 1 Rightarrow x - 1 < 2 Rightarrow x < 3
x - 12 >= 1 Rightarrow x - 1 >= 2 Rightarrow x >= 3
Portanto, para x < 3 , usamos f(x) = 2x^2 - 1 , e para x >= 3 , usamos f(x) = 2 - x^2 .
Passo 4
Agora, vamos expressar f(g(x)) de acordo com os intervalos encontrados: