Encontre a derivada das seguintes funções:
(i) f(x)=raiz[4]2 x^4+2 xcos ^2(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = raiz[4]2x^4 + 2xcos^2(3x),
ou seja, vamos usar a regra do quociente junto com a regra da cadeia para derivar a parte raiz[4]2x^4+2x e a parte cos^2(3x).

Passo 2

Definimos
u(x) = (2x^4+2x)^tfrac14, v(x) = cos^2(3x)
Assim
f(x) = u(x)v(x)

Passo 3

Derivando u(x) pela cadeia, seja g(x)=2x^4+2x, temos g'(x)=8x^3+2 e
u'(x) = 14,g(x)^-tfrac34,g'(x) = 8x^3+24,(2x^4+2x)^3/4

Passo 4

Derivando v(x)=(cos(3x))^2 pela cadeia e a regra da potência,
v'(x) = 2cos(3x),l(-sin(3x)cdot3r) = -6cos(3x),sin(3x)

Passo 5

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) = u'(x),v(x);-;u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u,u',v,v',
f'(x) = 8x^3+24(2x^4+2x)^3/4cos^2(3x) ;-;(2x^4+2x)^1/4l(-6cos(3x)sin(3x)r) cos^4(3x)

Passo 6

Agora basta simplificar dividindo numerador e denominador por cos^2(3x):
f'(x) = 8x^3+24,(2x^4+2x)^3/4,cos^2(3x) ;+; 6,(2x^4+2x)^1/4,sin(3x)cos^3(3x)

Resposta

f'(x) = 8x^3+24,(2x^4+2x)^3/4,cos^2(3x) ;+; 6,(2x^4+2x)^1/4,sin(3x)cos^3(3x)

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