Considere a função
f(x, y)=x^{2}+y^{2} .
a) Calcule o gradiente \nabla f(x, y).
b) Considere a curva de nível x^{2}+y^{2}=c, com c>0. Mostre que o vetor gradiente \nabla f(x, y) é ortogonal a essa curva em cada um de seus pontos.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular o gradiente \nabla f(x,y).
  • (b) Considerando a curva de nível \,x^{2}+y^{2}=c com c>0, mostrar que o vetor gradiente \nabla f(x,y) é ortogonal a essa curva em cada um de seus pontos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem x^{2}+y^{2}=c, onde c é constante positiva.
  • Não há outros dados numéricos; a demonstração deve valer para qualquer ponto da curva de nível.

Passo 2

Entendendo o que é o gradiente e como calculá‑lo (aula rápida e prática).
  • Definição prática: o gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em notação,
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\; \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • O que é derivada parcial? Para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos f em relação a x; para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y.
    Agora aplicamos isso a f(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (passo a passo, sem pular etapas).
  • Usando a regra do poder para funções de uma variável, se g(x)=x^{2} então g'(x)=2x. Para \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante, então a parte y^{2} some e ficamos com
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Analogamente, para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e diferenciamos y^{2} em relação a y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y.

Passo 4

Escrevendo o gradiente final a partir das derivadas parciais.
  • Juntando as duas componentes obtidas:
\nabla f(x,y)=\bigl(2x,\;2y\bigr).
Comentário didático: esse vetor aponta na direção em que f cresce mais rapidamente a partir do ponto (x,y), e seu módulo é proporcional à distância ao centro no caso desta função radial.

Passo 5

O que significa “ortogonal à curva de nível” e como provar geral (estratégia).
  • Definição de curva de nível: uma curva de nível de f associada ao valor c é qualquer curva parametrizada \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que, para todo t, f(x(t),y(t))=c (constante).
  • Tangente à curva: o vetor tangente a \gamma em um ponto é \gamma'(t)=(x'(t),y'(t)).
  • Regra da cadeia (caso multivariável, explicada): se F(t)=f(x(t),y(t)), então
\dfrac{d}{dt}F(t)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\,x'(t)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).
Essa soma é exatamente o produto escalar entre \nabla f(x(t),y(t)) e \gamma'(t):
\dfrac{d}{dt}F(t)=\nabla f(x(t),y(t))\cdot \gamma'(t).
Essa fórmula vem diretamente da aplicação da regra da cadeia componente a componente.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia à curva de nível para obter ortogonalidade.
  • Se \gamma(t) está sobre a curva de nível f(x,y)=c, então F(t)=f(x(t),y(t))=c é constante. Portanto
\dfrac{d}{dt}F(t)=0.
  • Pela fórmula da Passo 5,
0=\dfrac{d}{dt}F(t)=\nabla f(x(t),y(t))\cdot \gamma'(t).
  • Conclusão lógica: o produto escalar entre \nabla f e o vetor tangente \gamma'(t) é zero em todo ponto da curva de nível. Pelo fato de que dois vetores cujo produto escalar é zero são ortogonais, segue que \nabla f é ortogonal à curva de nível em cada ponto.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a intuição (curva é um círculo).
  • A curva x^{2}+y^{2}=c pode ser parametrizada por
\gamma(t)=\bigl(\sqrt{c}\cos t,\;\sqrt{c}\sin t\bigr).
  • Então
\gamma'(t)=\bigl(-\sqrt{c}\sin t,\;\sqrt{c}\cos t\bigr).
  • Em um ponto \gamma(t) temos \nabla f(\gamma(t))=\bigl(2\sqrt{c}\cos t,\;2\sqrt{c}\sin t\bigr).
  • Produto escalar:
\nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=2\sqrt{c}\cos t\cdot(-\sqrt{c}\sin t)+2\sqrt{c}\sin t\cdot(\sqrt{c}\cos t)=0.
  • Isso confirma, num cálculo direto, que o gradiente é ortogonal ao círculo em todos os pontos.

Resposta

\nabla f(x,y)=(2x,\,2y)
O vetor \nabla f(x,y) é ortogonal à curva x^{2}+y^{2}=c em cada ponto, pois para qualquer parametrização \gamma(t) da curva de nível vale \nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=0.

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