Considere a função
a) Calcule o gradiente
.
b) Considere a curva de nível
, com
. Mostre que o vetor gradiente
é ortogonal a essa curva em cada um de seus pontos.
b) Considere a curva de nível
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular o gradiente
. - (b) Considerando a curva de nível
com , mostrar que o vetor gradiente é ortogonal a essa curva em cada um de seus pontos.
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - A curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem , onde é constante positiva. - Não há outros dados numéricos; a demonstração deve valer para qualquer ponto da curva de nível.
Passo 2
Entendendo o que é o gradiente e como calculá‑lo (aula rápida e prática).
- Definição prática: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Em notação,
- O que é derivada parcial? Para calcular
tratamos como constante e diferenciamos em relação a ; para tratamos como constante e diferenciamos em relação a .
Agora aplicamos isso a.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo, sem pular etapas).
- Usando a regra do poder para funções de uma variável, se
então . Para tratamos como constante, então a parte some e ficamos com
- Analogamente, para
tratamos como constante e diferenciamos em relação a :
Passo 4
Escrevendo o gradiente final a partir das derivadas parciais.
- Juntando as duas componentes obtidas:
Comentário didático: esse vetor aponta na direção em que
cresce mais rapidamente a partir do ponto
, e seu módulo é proporcional à distância ao centro no caso desta função radial.
Passo 5
O que significa “ortogonal à curva de nível” e como provar geral (estratégia).
- Definição de curva de nível: uma curva de nível de
associada ao valor é qualquer curva parametrizada tal que, para todo , (constante). - Tangente à curva: o vetor tangente a
em um ponto é . - Regra da cadeia (caso multivariável, explicada): se
, então
Essa soma é exatamente o produto escalar entre
e
:
Essa fórmula vem diretamente da aplicação da regra da cadeia componente a componente.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia à curva de nível para obter ortogonalidade.
- Se
está sobre a curva de nível , então é constante. Portanto
- Pela fórmula da Passo 5,
- Conclusão lógica: o produto escalar entre
e o vetor tangente é zero em todo ponto da curva de nível. Pelo fato de que dois vetores cujo produto escalar é zero são ortogonais, segue que é ortogonal à curva de nível em cada ponto.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a intuição (curva é um círculo).
- A curva
pode ser parametrizada por
- Então
- Em um ponto
temos . - Produto escalar:
- Isso confirma, num cálculo direto, que o gradiente é ortogonal ao círculo em todos os pontos.
Resposta
O vetor