Resolver as equações diferenciais.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma equação não exata e buscar um fator integrante. Usaremos o teste de exatidão e, em seguida, encontraremos um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
que dependa apenas de
, verificamos
que é função só de
. Logo
Para simplificar, tomamos
(assumindo
).
Passo 4
Multiplicando a equação por
, obtemos
Agora
e
logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
,
onde
é uma função a determinar.
Passo 6
Agora impomos
Dessa igualdade segue
e, integrando em
:
Passo 7
Assim, a função potencial completa é
A solução geral implícita vem de
isto é
com
constante arbitrária.