Resolver as equações diferenciais.
a) x y d x+\left(x^{2}-y^{2}+1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x\,y\,dx + \bigl(x^{2} - y^{2} + 1\bigr)\,dy = 0.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma equação não exata e buscar um fator integrante. Usaremos o teste de exatidão e, em seguida, encontraremos um fator integrante que dependa só de y.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=x\,y, \qquad N(x,y)=x^{2}-y^{2}+1.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2\,x.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante \mu que dependa apenas de y, verificamos
\frac{N_x - M_y}{M} =\frac{2x - x}{x\,y} =\frac{x}{x\,y} =\frac{1}{y},
que é função só de y. Logo
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{y}\,dy\Bigr) =\exp(\ln|y|) =|y|.
Para simplificar, tomamos \mu(y)=y (assumindo y\neq0).

Passo 4

Multiplicando a equação por y, obtemos
x\,y^{2}\,dx + \bigl(x^{2}y - y^{3} + y\bigr)\,dy = 0.
Agora
\tilde M(x,y)=x\,y^{2}, \qquad \tilde N(x,y)=x^{2}y - y^{3} + y,
e
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=2\,x\,y, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=2\,x\,y,
logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=x\,y^{2}.
Integrando em relação a x,
\Phi(x,y) =\int x\,y^{2}\,dx =\tfrac{1}{2}\,x^{2}y^{2} + h(y),
onde h é uma função a determinar.

Passo 6

Agora impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =x^{2}y + h'(y) \stackrel{!}{=} \tilde N(x,y) =x^{2}y - y^{3} + y.
Dessa igualdade segue
h'(y)=-\,y^{3}+y,
e, integrando em y:
h(y)=-\tfrac{1}{4}y^{4}+\tfrac{1}{2}y^{2}.

Passo 7

Assim, a função potencial completa é
\Phi(x,y) =\tfrac{1}{2}x^{2}y^{2} -\tfrac{1}{4}y^{4} +\tfrac{1}{2}y^{2}.
A solução geral implícita vem de
\Phi(x,y)=C,
isto é
\tfrac{1}{2}\,x^{2}y^{2} -\tfrac{1}{4}\,y^{4} +\tfrac{1}{2}\,y^{2} =C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\tfrac{1}{2}\,x^{2}y^{2} -\tfrac{1}{4}\,y^{4} +\tfrac{1}{2}\,y^{2} =C.

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