Considere a função f(x, y)=2 x+5 y. Calcule \frac{f(x+h)-f(x, y)}{h}, onde h \neq 0 é um número real qualquer.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=2x+5y\, e pede para calcular a expressão
\frac{f(x+h)-f(x,y)}{h},
onde h\neq0 é um número real qualquer.
Aqui há uma notação que costuma aparecer em exercícios: \,f(x+h)\, deve ser entendida como \,f(x+h,y)\, (ou seja, incrementa-se apenas a coordenada x em h, mantendo y fixo). Assim, os dados relevantes são:
  • \,f(x,y)=2x+5y;
  • calcular \displaystyle\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} para h\neq0.

Passo 2

Primeiro vamos substituir x por x+h em f para obter f(x+h,y). Substituindo:
f(x+h,y)=2(x+h)+5y.
Agora desenvolvemos a expressão:
f(x+h,y)=2x+2h+5y.

Passo 3

Calcule a diferença no numerador:
f(x+h,y)-f(x,y)=(2x+2h+5y)-(2x+5y).
Agrupando termos iguais e simplificando:
f(x+h,y)-f(x,y)=2h.

Passo 4

Divida a diferença por h (lembre que h\neq0, então a divisão é válida):
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{2h}{h}.
Cancele o h comum no numerador e no denominador:
\frac{2h}{h}=2.
Interpretação didática rápida: esse quociente mede a taxa de variação de f quando apenas x é aumentado em h. Como o resultado é 2 e independe de h e de y, isso significa que a variação de f por unidade de x é constante e vale 2. Em cálculo de várias variáveis isso coincide com a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}=2. Exemplo numérico: se h=0,1, então \dfrac{f(x+0,1,y)-f(x,y)}{0,1}=2.

Resposta

2

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