Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar e representar graficamente o domínio da função dada. A função fornecida é
Informações/condições dadas:
- A função é a função logarítmica natural
aplicada à expressão . - As variáveis independentes são
e , que variam em possivelmente restritas pelo domínio da função logaritmo. - A tarefa consiste em (i) encontrar o conjunto de pontos
onde a função está definida (domínio) e (ii) representar esse conjunto graficamente no plano .
Passo 2
Lembrete sobre a função
e sua condição de existência:
- A função
(logaritmo natural) está definida somente para argumentos estritamente positivos. - Em termos práticos, para que
exista, é necessário que o argumento satisfaça
Vou explicar isso devagar: se o argumento fosse
ou negativo,
não teria valor real (é indefinido para
e dá número complexo para valores negativos). Então precisamos garantir o sinal positivo.
Passo 3
Resolver a desigualdade obtida:
é equivalente (somando
em ambos os lados) a
Essa é a condição algébrica que descreve o domínio.
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
:
- A equação
é a circunferência de raio centrada na origem . - A desigualdade
descreve todos os pontos do plano cuja distância à origem é maior do que . Ou seja, todos os pontos fora do disco de raio centrado na origem. - Observação importante: a fronteira
(o círculo) não está incluída no domínio, porque nela o argumento do é .
Passo 5
Representação em coordenadas polares (forma alternativa e útil para desenho):
- Em coordenadas polares
temos e , e . - A condição
fica simplesmente
- Em palavras: o domínio é
.
Passo 6
Como desenhar o domínio no plano
(passo a passo para a prova):
- Desenhe um círculo de raio
centrado na origem . - Trace a circunferência como linha tracejada (ou borrada) para indicar que ela não faz parte do domínio.
- Sombreie (ou faça hachura) toda a região exterior a esse círculo — ou seja, toda a área fora do disco — mostrando que esses pontos pertencem ao domínio.
- Não sombreie a parte interna do círculo (o disco fechado), porque para pontos com
o argumento do é negativo e a função não está definida.
Dica prática: para checar pontos rápidos na prova, teste:
-
: → não pertence. -
: → não pertence (fronteira). -
: → pertence.
Passo 7
Observações finais úteis para prova:
- O domínio é um conjunto aberto no sentido topológico (pois removeu-se a fronteira do disco).
- Em notação de conjunto, é comum escrever o domínio como conjunto de nível:
- Em coordenadas polares: