Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
z=\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar e representar graficamente o domínio da função dada. A função fornecida é
z=\ln\left(x^{2}+y^{2}-1\right).
Informações/condições dadas:
  • A função é a função logarítmica natural \ln(\cdot) aplicada à expressão x^{2}+y^{2}-1.
  • As variáveis independentes são x e y, que variam em \mathbb{R} possivelmente restritas pelo domínio da função logaritmo.
  • A tarefa consiste em (i) encontrar o conjunto de pontos (x,y) onde a função está definida (domínio) e (ii) representar esse conjunto graficamente no plano xy.

Passo 2

Lembrete sobre a função \ln(\cdot) e sua condição de existência:
  • A função \ln(t) (logaritmo natural) está definida somente para argumentos t estritamente positivos.
  • Em termos práticos, para que z=\ln\big(x^{2}+y^{2}-1\big) exista, é necessário que o argumento satisfaça
x^{2}+y^{2}-1>0.
Vou explicar isso devagar: se o argumento fosse 0 ou negativo, \ln não teria valor real (é indefinido para 0 e dá número complexo para valores negativos). Então precisamos garantir o sinal positivo.

Passo 3

Resolver a desigualdade obtida:
x^{2}+y^{2}-1>0
é equivalente (somando 1 em ambos os lados) a
x^{2}+y^{2}>1.
Essa é a condição algébrica que descreve o domínio.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade \;x^{2}+y^{2}>1\;:
  • A equação \;x^{2}+y^{2}=1\; é a circunferência de raio 1 centrada na origem (0,0).
  • A desigualdade \;x^{2}+y^{2}>1\; descreve todos os pontos do plano cuja distância à origem é maior do que 1. Ou seja, todos os pontos fora do disco de raio 1 centrado na origem.
  • Observação importante: a fronteira \;x^{2}+y^{2}=1\; (o círculo) não está incluída no domínio, porque nela o argumento do \ln é 0.

Passo 5

Representação em coordenadas polares (forma alternativa e útil para desenho):
  • Em coordenadas polares (r,\theta) temos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, e x^{2}+y^{2}=r^{2}.
  • A condição x^{2}+y^{2}>1 fica simplesmente
r^{2}>1 \quad\Longleftrightarrow\quad r>1.
  • Em palavras: o domínio é \{(r,\theta): r>1,\;0\le\theta<2\pi\}.

Passo 6

Como desenhar o domínio no plano xy (passo a passo para a prova):
  1. Desenhe um círculo de raio 1 centrado na origem (0,0).
  2. Trace a circunferência como linha tracejada (ou borrada) para indicar que ela não faz parte do domínio.
  3. Sombreie (ou faça hachura) toda a região exterior a esse círculo — ou seja, toda a área fora do disco — mostrando que esses pontos pertencem ao domínio.
  4. Não sombreie a parte interna do círculo (o disco fechado), porque para pontos com x^{2}+y^{2}<1 o argumento do \ln é negativo e a função não está definida.
Dica prática: para checar pontos rápidos na prova, teste:
  • (0,0): 0^{2}+0^{2}=0\le1 → não pertence.
  • (1,0): 1^{2}+0^{2}=1 → não pertence (fronteira).
  • (2,0): 2^{2}+0^{2}=4>1 → pertence.

Passo 7

Observações finais úteis para prova:
  • O domínio é um conjunto aberto no sentido topológico (pois removeu-se a fronteira do disco).
  • Em notação de conjunto, é comum escrever o domínio como conjunto de nível:
D=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}>1\big\}.
  • Em coordenadas polares:
D=\{(r,\theta)\mid r>1,\;0\le\theta<2\pi\}.

Resposta

D=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}>1\big\}

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