Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
f(x, y)=\sin \left(\frac{x}{y}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right):
  • Encontrar o domínio (ou seja, o conjunto de pontos (x,y) onde a função está bem definida).
  • Representar graficamente esse domínio no plano (x,y).
As informações dadas são apenas a expressão da função f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Não há outras condições nem valores numéricos fornecidos.

Passo 2

Entender o que impede a função de estar definida em certos pontos.
  • Regra geral: o domínio de uma função são todos os pontos em que todas as operações envolvidas fazem sentido.
  • Observe a expressão \dfrac{x}{y}. Divisão por y exige que y não seja zero, porque divisão por zero não é definida.
  • A função seno, \sin(t), está definida para todo número real t. Ou seja, não impõe restrição extra: o argumento \dfrac{x}{y} pode ser qualquer número real.
  • Conclusão lógica imediata: a única restrição vem de evitar divisão por zero, portanto precisamos de y\neq 0.

Passo 3

Escrever o domínio de forma precisa e explicar a notação.
  • Em palavras: o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) com x real e y real diferente de zero.
  • Em notação em conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq 0\}.
  • Alternativamente, podemos escrever o domínio como união de duas semi-planos abertos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y<0\}.
  • Explicação: isso significa que todo ponto acima do eixo x (onde y>0) e todo ponto abaixo do eixo x (onde y<0) pertencem ao domínio; apenas os pontos sobre o eixo x (onde y=0) são excluídos.

Passo 4

Verificação por exemplos (para fixar a ideia).
  • Ponto dentro do domínio: (1,2). Calcula-se f(1,2)=\sin\!\left(\dfrac{1}{2}\right), que é bem definido.
  • Outro ponto dentro do domínio: (3,-1). Calcula-se f(3,-1)=\sin\!\left(-3\right)=-\sin(3), bem definido.
  • Ponto fora do domínio: (5,0). Aqui \dfrac{5}{0} não existe, logo f(5,0) não está definida.

Passo 5

Como representar graficamente o domínio (instruções passo a passo para desenhar à mão):
  1. Desenhe um sistema de eixos cartesianas com eixo horizontal rotulado x e eixo vertical rotulado y.
  2. Trace o eixo x (linha horizontal) e identifique que todos os pontos sobre essa linha têm y=0.
  3. Sombrace ou marque como permitidas (por exemplo, pinte com uma cor clara) todas as regiões acima do eixo x ( y>0) e abaixo do eixo x ( y<0).
  4. Deixe o próprio eixo x (linha y=0) não sombreado; ele é excluído do domínio.
  5. Opcional: desenhe uma linha pontilhada para o eixo x para enfatizar que essa linha não faz parte do domínio.
Resultado visual: o plano inteiro exceto a linha horizontal y=0. Ou seja, dois semi-planos (superior e inferior) abertos, sem a fronteira y=0.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\neq 0\}

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