Encontre e represente graficamente o domínio de cada função dada abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Encontrar o domínio (ou seja, o conjunto de pontos
onde a função está bem definida). - Representar graficamente esse domínio no plano
.
As informações dadas são apenas a expressão da função
. Não há outras condições nem valores numéricos fornecidos.
Passo 2
Entender o que impede a função de estar definida em certos pontos.
- Regra geral: o domínio de uma função são todos os pontos em que todas as operações envolvidas fazem sentido.
- Observe a expressão
. Divisão por exige que não seja zero, porque divisão por zero não é definida. - A função seno,
, está definida para todo número real . Ou seja, não impõe restrição extra: o argumento pode ser qualquer número real. - Conclusão lógica imediata: a única restrição vem de evitar divisão por zero, portanto precisamos de
.
Passo 3
Escrever o domínio de forma precisa e explicar a notação.
- Em palavras: o domínio é o conjunto de todos os pares
com real e real diferente de zero. - Em notação em conjunto:
- Alternativamente, podemos escrever o domínio como união de duas semi-planos abertos:
- Explicação: isso significa que todo ponto acima do eixo
(onde ) e todo ponto abaixo do eixo (onde ) pertencem ao domínio; apenas os pontos sobre o eixo (onde ) são excluídos.
Passo 4
Verificação por exemplos (para fixar a ideia).
- Ponto dentro do domínio:
. Calcula-se , que é bem definido. - Outro ponto dentro do domínio:
. Calcula-se , bem definido. - Ponto fora do domínio:
. Aqui não existe, logo não está definida.
Passo 5
Como representar graficamente o domínio (instruções passo a passo para desenhar à mão):
- Desenhe um sistema de eixos cartesianas com eixo horizontal rotulado
e eixo vertical rotulado . - Trace o eixo
(linha horizontal) e identifique que todos os pontos sobre essa linha têm . - Sombrace ou marque como permitidas (por exemplo, pinte com uma cor clara) todas as regiões acima do eixo
( ) e abaixo do eixo ( ). - Deixe o próprio eixo
(linha ) não sombreado; ele é excluído do domínio. - Opcional: desenhe uma linha pontilhada para o eixo
para enfatizar que essa linha não faz parte do domínio.
Resultado visual: o plano inteiro exceto a linha horizontal
. Ou seja, dois semi-planos (superior e inferior) abertos, sem a fronteira
.