Considere a função f(x, y, z)=ln (x y)+ln (y z)+ln (x z)
(a) Determine o gradiente de f em um ponto P(x, y, z) qualquer de seu domínio.
(b) Determine as direções nas quais f cresce e decresce mais rapidamente no ponto P(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar o gradiente de f e depois determinar as direções de máximo crescimento e decrescimento em P(1,1,1). O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais e aplicações em gradiente e direção de maior variação.

Passo 2

Para simplificar f vamos usar que ln(ab)=ln a+ln b. Então
f(x,y,z)=ln(xy)+ln(yz)+ln(xz)=l(ln x+ln yr)+l(ln y+ln zr)+l(ln x+ln zr)=2ln x+2ln y+2ln z,

Resposta

Agora calculamos as derivadas parciais usando ddxln x=1x. Assim temos

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