Sobre o estudo da classificação de uma equação diferencial, complete a tabela abaixo.
Item Equação Diferencial O ou P L ou NL Ordem Grau* Var. I Var. D
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
(m)
(n)
(o)

Passo 1

O enunciado pede para, para cada equação diferencial dada, determinar se é ordinária (O) ou parcial §, linear (L) ou não linear (NL), sua ordem, seu grau (quando definido), sua variável independente (Var. I) e sua variável dependente (Var. D).

Passo 2

Para classificar usamos:
  • Se envolve derivadas em relação a uma única variável, é ODE (O); se envolve derivadas parciais em mais de uma variável independente, é PDE §.
  • É linear (L) se a função dependente e suas derivadas aparecem só em 1ª potência e somadas com coeficientes que podem depender só da(s) variável(is) independente(s); caso contrário, é não linear (NL).
  • A ordem é o maior grau de derivada presente.
  • O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação, após eliminar radicais ou frações envolvendo derivadas, é polinomial nessas derivadas; se não der para escrever como polinomial, dizemos “não definido” (ND).
  • A variável independente é aquela em relação à qual derivamos; a dependente é a função em si.

Passo 3

(a) (1-x)y''-4xy'+5y=cos x
É ODE (O), aparece y, y', y'' linearmente Rightarrow L, ordem 2, grau 1, variável independente x, dependente y.

Passo 4

(b) l(y^2-1r),dx + x,dy=0 Rightarrow escrevendo x,dydx + y^2 -1=0
É ODE (O), dydx aparece em 1ª potência mas y^2 faz não ser linear Rightarrow NL, ordem 1, grau 1, var. I x, var. D y.

Passo 5

(c) t^5y^(4)-t^3y''+6y=0
ODE (O), aparece y, y'', y^(4) linearmente Rightarrow L, ordem 4, grau 1, var. I t, var. D y.

Passo 6

(d) d^2ydx^2 = raiz1+l(dydxr)^2
ODE (O), não é linear (radical) Rightarrow NL, ordem 2. Elevando ao quadrado fica l(y''r)^2=1+(y')^2, polinomial em y'' Rightarrow grau 2, var. I x, var. D y.

Passo 7

(e) sintheta,y''' - costheta,y' = 2
ODE (O), y, y', y''' só em 1ª potência Rightarrow L, ordem 3, grau 1, var. I theta, var. D y.

Passo 8

(f) y' = x^2 + 5y
ODE (O), linear em y e y' Rightarrow L, ordem 1, grau 1, var. I x, var. D y.

Passo 9

(g) y'' - 4y' - 5y = e^3x
ODE (O), linear Rightarrow L, ordem 2, grau 1, var. I x, var. D y.

Passo 10

(h) partial Upartial t = 4,partial^2 Upartial x^2 + partial Upartial y
PDE §, todas as derivadas aparecem em 1ª potência e somadas com coeficientes que não dependem de U Rightarrow L, ordem 2 (maior ordem de derivada parcial), grau 1, var. I t,x,y, var. D U.

Passo 11

(i) l(tfracd^3sdt^3r)^2 + l(tfracd^2sdt^2r)^3 = s - 3t
ODE (O), não linear (potências > 1 das derivadas), ordem 3, grau é expoente de d^3s/dt^3 na forma polinomial Rightarrow 2, var. I t, var. D s.

Passo 12

(j) drdphi = raizr,phi
ODE (O), não linear (radical), ordem 1. Quadrando: l(tfracdrdphir)^2 = r,phi Rightarrow grau 2, var. I phi, var. D r.

Passo 13

(k) d^2xdy^2 - 3x = sin y
ODE (O), linear Rightarrow L, ordem 2, grau 1, var. I y, var. D x.

Passo 14

(l) partial^2Vpartial x^2 = raiz[3]partial Vpartial y
PDE §, não linear (radical de derivada), ordem 2. Elevando ao cubo: l(Vxxr)^3 = Vy Rightarrow grau 3, var. I x,y, var. D V.

Passo 15

(m) (2x+y),dx + (x-3y),dy = 0 Rightarrow dydx = -2x+y,x-3y,
ODE (O), não linear (não é forma a(x)y'+b(x)y=dots), ordem 1, grau 1, var. I x, var. D y.

Passo 16

(n) y'' + x,y = sin y''
ODE (O), não linear (seno de derivada), ordem 2, grau ND (não dá para escrever como polinomial em y''), var. I x, var. D y.

Passo 17

(o) partial^2Tpartial x^2 + partial^2Tpartial y^2 + partial^2Tpartial z^2 = 0
PDE §, linear (Laplace), ordem 2, grau 1, var. I x,y,z, var. D T.

Resposta

(a) O, L, ordem 2, grau 1, var. I x, var. D y
(b) O, NL, ordem 1, grau 1, var. I x, var. D y
(c) O, L, ordem 4, grau 1, var. I t, var. D y
(d) O, NL, ordem 2, grau 2, var. I x, var. D y
(e) O, L, ordem 3, grau 1, var. I theta, var. D y
(f) O, L, ordem 1, grau 1, var. I x, var. D y
(g) O, L, ordem 2, grau 1, var. I x, var. D y
(h) P, L, ordem 2, grau 1, var. I t,x,y, var. D U
(i) O, NL, ordem 3, grau 2, var. I t, var. D s
(j) O, NL, ordem 1, grau 2, var. I phi, var. D r
(k) O, L, ordem 2, grau 1, var. I y, var. D x
(l) P, NL, ordem 2, grau 3, var. I x,y, var. D V
(m) O, NL, ordem 1, grau 1, var. I x, var. D y
(n) O, NL, ordem 2, grau ND, var. I x, var. D y
(o) P, L, ordem 2, grau 1, var. I x,y,z, var. D T

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