Encontre o comprimento da curva
r(t)=(e^t, e^t cos (t), e^t sen(t)), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t)=l(e^t,,e^tcos t,,e^tsin tr) para tin[0,2pi]. Este é um problema de comprimento de arco em R^3, onde usamos a fórmula
L=integrala^blVert r'(t)rVert,dt

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente:
r'(t)=l(e^t,;ddt(e^tcos t),;ddt(e^tsin t)r)
Pelo produto,
ddt(e^tcos t)=e^tcos t - e^tsin t , ddt(e^tsin t)=e^tsin t + e^tcos t
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r'(t)=l(e^t,,e^t(cos t - sin t),,e^t(sin t + cos t)r)

Passo 3

Agora calculamos o quadrado da norma:
lVert r'(t)rVert^2 =e^2tl[1+(cos t - sin t)^2+(sin t + cos t)^2r]
Note que
(cos t - sin t)^2+(sin t + cos t)^2 =(1 - sin2t)+(1 + sin2t)=2,
então
lVert r'(t)rVert^2 = e^2t(1+2)=3,e^2t Longrightarrow lVert r'(t)rVert=raiz3,e^t

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento, temos
L=integral0^2piraiz3,e^t,dt =raiz3,l[e^tr]0^2pi =raiz3,l(e^2pi-1r)

Resposta

L=raiz3,l(e^2pi-1r)

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