Encontre o comprimento da curva
r(t)=(2 t^2-1,4 t^2+3), t in[-4,4]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por
r(t) = l(x(t),y(t)r) = l(2t^2 - 1,;4t^2 + 3r),
para t variando em [-4,4].
Conteúdo: comprimento de arco de curva plana. Fórmula que vamos usar:
L = integrala^b llVert r'(t)rrVert , dt,
onde llVert r'(t)rrVert = raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2.

Passo 2

Calcular a derivada r'(t). Como
x(t) = 2t^2 - 1, y(t) = 4t^2 + 3,
temos
x'(t) = 4t, y'(t) = 8t
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r'(t) = l(4t,,8tr)

Passo 3

Determinar a velocidade llVert r'(t)rrVert:
llVert r'(t)rrVert = raiz(4t)^2 + (8t)^2 = raiz16t^2 + 64t^2 = raiz80,t^2 = 4raiz5,lvert trvert

Passo 4

Montar a integral do comprimento no intervalo [-4,4]:
L = integral-4^4 4raiz5,lvert trvert , dt
Observação: a função lvert trvert é par, logo podemos usar
integral-4^4 lvert trvert ,dt = 2 integral0^4 t,dt

Passo 5

Calcular a integral:
L = 4raiz5 cdot 2 integral0^4 t , dt = 8raiz5 gl[t^22gr]0^4 = 8raiz5 cdot 4^22 = 8raiz5 cdot 8 = 64raiz5

Resposta

O comprimento da curva é 64raiz5.

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