Exercício 1: (3,5 pontos) Resolva os seguintes limites justificando cada passagem:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x-1}{2 x+4}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -2}\frac{x-1}{2x+4}
que é uma função racional. Para resolver vamos usar as definições de limite, verificando primeiro substituição direta, depois classificando o tipo de indeterminação (ou não) e, em seguida, analisando os sinais para os limites laterais.

Passo 2

Fazendo a substituição direta em \frac{x-1}{2x+4} quando x=-2, encontramos
\text{numerador} = (-2)-1 = -3, \quad \text{denominador} = 2(-2)+4 = 0.
Como o numerador tende a -3\ne0 e o denominador tende a 0, não temos indeterminação do tipo \tfrac00, mas sim uma divisão por zero com numerador não nulo, o que indica que o valor do limite será infinito (ou -\infty) ou que o limite não existe no sentido finito.

Passo 3

Para saber se tende a +\infty ou -\infty precisamos ver o sinal da fração perto de x=-2. Note que
2x+4 = 2(x+2).
Portanto, o sinal de \tfrac{x-1}{2(x+2)} vem de \,(x-1) que é próximo de -3 (sempre negativo) e de (x+2) que muda de sinal ao passar por -2.

Passo 4

Analisando os limites laterais:
  1. x\to -2^-: então x+2<0 e 2(x+2)<0. O numerador está em torno de -3, logo
    \frac{x-1}{2x+4}\;\to\;\frac{\text{negativo}}{\text{negativo}} = +\infty.
  2. x\to -2^+: então x+2>0 e 2(x+2)>0. Mantendo numerador negativo,
    \frac{x-1}{2x+4}\;\to\;\frac{\text{negativo}}{\text{positivo}} = -\infty.
Como os limites laterais são diferentes ( +\infty e -\infty), o limite bilateral não existe no sentido usual.

Resposta

O limite \lim_{x\to -2}\frac{x-1}{2x+4} não existe (os limites laterais são +\infty e -\infty).

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