Considere a função
f(x, y, z)=x y-y z+x z:
(a) Determine a derivada direcional de f na direção de \vec{v}=(-1,2,-2).
(b) Dado um ponto \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), encontre a direção na qual f cresce mais rapidamente a partir desse ponto. Depois encontre a derivada de f nessa direção.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=xy - yz + xz
e pede em (a) a derivada direcional de f na direção do vetor \vec v=(-1,2,-2), e em (b) a direção de crescimento máximo de f num ponto (x_0,y_0,z_0) e a derivada de f nessa direção. O conteúdo principal é o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para começar, calculamos o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y+z,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x-z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=x-y.
Logo,
\nabla f(x,y,z) = (\,y+z,\;x-z,\;x-y\,).

Passo 3

(a) A derivada direcional de f na direção de \vec v é dada por
D_{\vec v}f = \nabla f \cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \vec v. Primeiro normalizamos \vec v:
\|\vec v\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3, \quad \mathbf{u} = \Bigl(-\tfrac13,\;\tfrac23,\;-\tfrac23\Bigr).

Passo 4

Fazendo o produto escalar,
D_{\vec v}f = (y+z)\Bigl(-\tfrac13\Bigr) \;+\;(x-z)\Bigl(\tfrac23\Bigr)\;+\;(x-y)\Bigl(-\tfrac23\Bigr).
Agrupando:
D_{\vec v}f = \tfrac{1}{3}\bigl[-(y+z) + 2(x-z) -2(x-y)\bigr] = \tfrac{1}{3}\bigl[y - 3z\bigr] = \frac{y - 3z}{3}.

Passo 5

(b) A direção em que f cresce mais rapidamente a partir de \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) é dada pelo próprio gradiente em \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr):
\mathbf{d}_{\max} = \nabla f\bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) = \bigl(y_0 + z_0,\;x_0 - z_0,\;x_0 - y_0\bigr).
A derivada direcional nessa direção (tomando o vetor unitário correspondente) é o módulo do gradiente:
D_{\mathbf{d}_{\max}}f = \bigl\|\nabla f(x_0,y_0,z_0)\bigr\| = \sqrt{(y_0+z_0)^2 + (x_0 - z_0)^2 + (x_0 - y_0)^2}.

Resposta

(a) \displaystyle D_{\vec v}f=\frac{y-3z}{3}.
(b) Direção de crescimento máximo: \displaystyle \nabla f(x_0,y_0,z_0) = (y_0+z_0,\;x_0 - z_0,\;x_0 - y_0).
Derivada nessa direção: \displaystyle \bigl\|\nabla f(x_0,y_0,z_0)\bigr\| = \sqrt{(y_0+z_0)^2 + (x_0 - z_0)^2 + (x_0 - y_0)^2}.

Exercícios relacionados