Determine se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas. Explique sua resposta.
( )
converge para 3 .
( )
é uma integral imprópria.
( )
( )
Passo 1
O enunciado nos dá duas afirmações sobre integrais impróprias:
-
“converge para 3”. -
“é uma integral imprópria”.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias do tipo 1 (intervalo infinito) e do tipo 2 (singularidade do integrando). Vamos precisar:
- Encontrar a antiderivada de
e avaliar o limite quando o intervalo vai a . - Verificar se
tem alguma descontinuidade em .
Passo 2
Analisando
:
A antiderivada de é
A antiderivada de
Logo,
Fazendo
,
, segue que
Portanto a integral converge e seu valor é
.
Passo 3
Analisando
:
O integrando só é singular quando
ou
. No intervalo de integração
não ocorre nenhum desses valores, logo o integrando é contínuo em
. Não há nenhum comportamento impróprio – é uma integral própria.
O integrando
Resposta
(V)
converge para
.
(F) não é uma integral imprópria.
(F)