Determine se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas. Explique sua resposta.
( ) \int_{1}^{+\infty} x^{-4 / 3} d x converge para 3 .
( ) \int_{1}^{2} \frac{1}{x(x-3)} d x é uma integral imprópria.

Passo 1

O enunciado nos dá duas afirmações sobre integrais impróprias:
  1. \displaystyle\int_{1}^{+\infty}x^{-4/3}\,dx “converge para 3”.
  2. \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x(x-3)}\,dx “é uma integral imprópria”.
    O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias do tipo 1 (intervalo infinito) e do tipo 2 (singularidade do integrando). Vamos precisar:
  • Encontrar a antiderivada de x^{-4/3} e avaliar o limite quando o intervalo vai a +\infty.
  • Verificar se \frac{1}{x(x-3)} tem alguma descontinuidade em [1,2].

Passo 2

Analisando \displaystyle\int_{1}^{+\infty}x^{-4/3}\,dx:
A antiderivada de x^{-4/3} é
\int x^{-4/3}\,dx =\frac{x^{-4/3+1}}{-4/3+1} =\frac{x^{-1/3}}{-1/3} =-3\,x^{-1/3}.
Logo,
\int_{1}^{b}x^{-4/3}\,dx =\bigl[-3\,x^{-1/3}\bigr]_{1}^{b} =-3\,b^{-1/3}-\bigl(-3\cdot1^{-1/3}\bigr) =-3\,b^{-1/3}+3.
Fazendo b\to+\infty, b^{-1/3}\to0, segue que
\int_{1}^{+\infty}x^{-4/3}\,dx =0+3=3.
Portanto a integral converge e seu valor é 3.

Passo 3

Analisando \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x(x-3)}\,dx:
O integrando \frac{1}{x(x-3)} só é singular quando x=0 ou x=3. No intervalo de integração 1\le x\le2 não ocorre nenhum desses valores, logo o integrando é contínuo em [1,2]. Não há nenhum comportamento impróprio – é uma integral própria.

Resposta

(V) \displaystyle\int_{1}^{+\infty}x^{-4/3}\,dx converge para 3.
(F) \displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x(x-3)}\,dx não é uma integral imprópria.

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