Encontre, se existir os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(\frac{x^{2} \cos \left(\frac{x}{y^{2}+x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)\to(0,0):
f(x,y)=\frac{x^{2}\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y^{2}+x^{2}}\bigr)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O conteúdo aqui é limites em \mathbb{R}^2 e vamos usar o teorema do confronto (squeeze theorem), explorando que \cos é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Primeiro colocamos valor absoluto para eliminar o cosseno oscilante:
\bigl|f(x,y)\bigr| = \frac{\bigl|x^{2}\cos(\tfrac{x}{y^{2}+x^{2}})\bigr|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{|x|^{2}\,\bigl|\cos(\cdot)\bigr|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le \frac{|x|^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Defina r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então |x|\le r, logo
\frac{|x|^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{|x|^{2}}{r} \le \frac{r^{2}}{r} = r.

Passo 4

Combinando os resultados:
\bigl|f(x,y)\bigr|\le r,
e como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo teorema do confronto concluímos que
f(x,y)\to0.

Resposta

O limite existe e vale 0.
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\,\cos\bigl(\tfrac{x}{y^{2}+x^{2}}\bigr)} {\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =0.

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