(Vale: 2,5 ) Utilize o Teorema de Green para calcular
em que C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas
e
no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é a fronteira, orientada anti-horário, da região
limitada pelas parábolas
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que troca a integral de linha por uma integral dupla sobre
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, com
e
, temos
Calculando as derivadas,
logo o integrando é
. A região
em coordenadas é
Assim montamos
Passo 3
Primeiro integramos em
:
No numerador superior:
e no inferior:
Subtraindo, o resultado em função de
fica
Passo 4
Agora integramos em
:
Em
isso vale
e em
vale
Assim a diferença é