(Vale: 2,5 ) Utilize o Teorema de Green para calcular \int_{C} x y d x+x y d y em que C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas y=x^{2} e y=-x^{2}+2 no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\oint_{C} x\,y\,dx \;+\; x\,y\,dy
onde C é a fronteira, orientada anti-horário, da região R limitada pelas parábolas
y = x^{2} \quad\text{e}\quad y = -\,x^{2} + 2.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que troca a integral de linha por uma integral dupla sobre R.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, com P(x,y)=x\,y e Q(x,y)=x\,y, temos
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculando as derivadas,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x\,y)}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x\,y)}{\partial y}=x,
logo o integrando é y - x. A região R em coordenadas é
-1 \le x \le 1, \qquad x^{2} \le y \le -\,x^{2} + 2.
Assim montamos
\iint_{R}(y - x)\,dA =\int_{x=-1}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{-x^{2}+2}(y - x)\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y:
\int_{y=x^{2}}^{-x^{2}+2}(y - x)\,dy =\Bigl[\frac{y^{2}}{2}-x\,y\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=-x^{2}+2}.
No numerador superior:
\frac{(-x^{2}+2)^{2}}{2}-x(-x^{2}+2) =\frac{x^{4}-4x^{2}+4}{2}+x^{3}-2x =\frac{x^{4}}{2}-2x^{2}+2+x^{3}-2x,
e no inferior:
\frac{(x^{2})^{2}}{2}-x\,(x^{2}) =\frac{x^{4}}{2}-x^{3}.
Subtraindo, o resultado em função de x fica
2x^{3}-2x^{2}-2x+2.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{-1}^{1}\bigl(2x^{3}-2x^{2}-2x+2\bigr)\,dx =\Bigl[\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}-x^{2}+2x\Bigr]_{-1}^{1}.
Em x=1 isso vale
\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-1+2=\frac{5}{6},
e em x=-1 vale
\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-1-2=-\frac{11}{6}.
Assim a diferença é
\frac{5}{6}-\bigl(-\frac{11}{6}\bigr)=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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