9.6 Em que pontos do plano complexo a função
f(z)=z+z^{*}
é analítica?

Passo 1

O enunciado pede em quais pontos do plano complexo a função
f(z)=z+z^{*}
é analítica (holomorfa). Para isso, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann, que são condições necessárias e suficientes para holomorfia em um domínio.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, sua conjugada é z^{*}=x-iy. Assim,
f(z)=z+z^{*}=(x+iy)+(x-iy)=2x.

Passo 3

Separamos a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y) de f:
u(x,y)=2x, \quad v(x,y)=0.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x=v_y \quad\text{e}\quad u_y=-\,v_x.
Calculando as derivadas:
u_x=\frac{\partial (2x)}{\partial x}=2, \quad u_y=\frac{\partial (2x)}{\partial y}=0, \quad v_x=\frac{\partial 0}{\partial x}=0, \quad v_y=\frac{\partial 0}{\partial y}=0.

Passo 5

Substituindo nas equações de Cauchy–Riemann:
u_x=v_y\implies 2=0\quad(\text{falso}),
u_y=-v_x\implies 0=-0\quad(\text{verdadeiro}).
Como a primeira igualdade nunca se satisfaz, não existe ponto que satisfaça ambas.

Resposta

A função f(z)=z+z^{*} não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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