9.6 Em que pontos do plano complexo a função
é analítica?
Passo 1
O enunciado pede em quais pontos do plano complexo a função
é analítica (holomorfa). Para isso, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann, que são condições necessárias e suficientes para holomorfia em um domínio.
Passo 2
Escrevendo
, sua conjugada é
. Assim,
Passo 3
Separamos a parte real
e a parte imaginária
de
:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo nas equações de Cauchy–Riemann:
Como a primeira igualdade nunca se satisfaz, não existe ponto que satisfaça ambas.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.