Considere a função f(z)=e^-2 z(z+1)^2. Use (7) para determinar a parte principal de uma expansão de f em série àz Laurent em torno de z0=-1 que seja válida no domínio anelar 0<|z+1|.

Passo 1

O enunciado pede a parte principal (termos de potências negativas) da expansão de Laurent de f(z)=e^-2z(z+1)^2 em torno de z0=-1, válida para 0<|z+1|. Vamos usar a técnica de mudança de variável e a série de Taylor de e^-2w.

Passo 2

Para centrar em z0=-1, definimos a nova variável w=z+1. Assim, z=w-1 e
f(z)=e^-2(w-1)w^2=e^2,e^-2ww^2

Passo 3

Em seguida, usamos a expansão de Taylor de e^-2w em torno de w=0:
e^-2w=sumn=0^infty(-2w)^nn!=sumn=0^infty(-2)^nn!,w^n

Passo 4

Multiplicando por e^2/w^2, obtemos a série de Laurent de f:
f(z)=e^2sumn=0^infty(-2)^nn!,w^n-2=e^2l(w^-2-2w^-1+(-2)^22!w^0+cdotsr)

Passo 5

Os termos de potências negativas (a parte principal) correspondem a n=0 e n=1:
  • Para n=0: e^2w^-2.
  • Para n=1: -2e^2w^-1.

Passo 6

Substituindo de volta w=z+1, a parte principal é
e^2(z+1)^2-2e^2z+1

Resposta

e^2(z+1)^2-2e^2z+1

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