Use a propriedade da derivada dada em(5) para mostrar que se
é diferenciável então
(a)
(b) Use o resultado obtido em (a) para derivar
(a)
(b) Use o resultado obtido em (a) para derivar
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que, para uma função diferenciável f(x), a derivada de f²(x) é 2f(x)f′(x); (b) usar esse resultado para derivar y=(2+5x−x³)². O conteúdo envolvido é a regra do produto (ou da cadeia) de derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar um produto de funções e depois aplicar ao quadrado de uma função.
Passo 2
Para derivar um produto de duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), usamos a regra do produto:
Isso vem direto da definição de derivada e é a base da parte (a).
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto ao caso em que u(x)=f(x) e v(x)=f(x). Assim, temos:
Pronto, isso conclui a parte (a).
Passo 4
Para a parte (b), seja g(x)=2+5x−x³. Então y=g(x)². Pelo resultado de (a), a derivada de y é
Agora basta calcular g’(x). Como g(x)=2+5x−x³, temos g’(x)=5−3x². Substituindo, obtemos:
Resposta
y’=2(2+5x−x³)(5−3x²)