Use a propriedade da derivada dada em(5) para mostrar que se f é diferenciável então
(a) dd x f^2(x)=2 f(x) f^prime(x)
(b) Use o resultado obtido em (a) para derivar

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que, para uma função diferenciável f(x), a derivada de f²(x) é 2f(x)f′(x); (b) usar esse resultado para derivar y=(2+5x−x³)². O conteúdo envolvido é a regra do produto (ou da cadeia) de derivadas. Vamos precisar lembrar como derivar um produto de funções e depois aplicar ao quadrado de uma função.

Passo 2

Para derivar um produto de duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), usamos a regra do produto:
(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Isso vem direto da definição de derivada e é a base da parte (a).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto ao caso em que u(x)=f(x) e v(x)=f(x). Assim, temos:
(f(x)·f(x))' = f'(x)·f(x) + f(x)·f'(x) = 2f(x)f'(x)
Pronto, isso conclui a parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), seja g(x)=2+5x−x³. Então y=g(x)². Pelo resultado de (a), a derivada de y é
y' = 2g(x)·g'(x)
Agora basta calcular g’(x). Como g(x)=2+5x−x³, temos g’(x)=5−3x². Substituindo, obtemos:
y' = 2(2+5x−x³)(5−3x²)³²

Resposta

y’=2(2+5x−x³)(5−3x²)

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