A função f(z)=1(z+2)(z-4 i) possui uma série de Laurent f(z)=sumk=-infty^infty ak(z+2)^k, válida no domínio anelér r<|z+2|. Determine os valores de r e R.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de f(z)=1/((z+2)(z−4i)) centrada em z0=−2 e quer saber o anel de convergência r<|z+2|<R.

Passo 2

As singularidades de f(z) são z=−2 e z=4i. Como a expansão é em torno de z0=−2, temos um polo simples no centro e outro em 4i.

Passo 3

Para uma série de Laurent centrada em z0, o raio interno r é a distância até a singularidade no próprio centro, ou seja r=0.

Passo 4

O raio externo R é a distância do centro z0=−2 até a próxima singularidade, que é z=4i. Calculamos
|(-2)-4i|=raiz(-2)^2+(-4)^2=raiz4+16=2raiz5

Passo 5

Portanto o anel de convergência é 0<|z+2|<2\sqrt5.

Resposta

r=0, R=2\sqrt{5}

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