A função
possui uma série de Laurent
, válida no domínio anelér
. Determine os valores de
e
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Laurent de f(z)=1/((z+2)(z−4i)) centrada em z0=−2 e quer saber o anel de convergência r<|z+2|<R.
Passo 2
As singularidades de f(z) são z=−2 e z=4i. Como a expansão é em torno de z0=−2, temos um polo simples no centro e outro em 4i.
Passo 3
Para uma série de Laurent centrada em z0, o raio interno r é a distância até a singularidade no próprio centro, ou seja r=0.
Passo 4
O raio externo R é a distância do centro z0=−2 até a próxima singularidade, que é z=4i. Calculamos
Passo 5
Portanto o anel de convergência é 0<|z+2|<2\sqrt5.
Resposta
r=0, R=2\sqrt{5}