Especificando as indeterminacões envolvidas, calcule os limites abaixo pela Regra de L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{2 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)}{2x}
usando a regra de L’Hopital. Vamos verificar o tipo de indeterminação e, se for 0/0, aplicar a regra.

Passo 2

Quando x\to 0, o numerador tende a
\ln\bigl(1+0^{2}\bigr)=\ln(1)=0
e o denominador tende a
2\cdot 0=0.
Portanto temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hopital, derivamos numerador e denominador:
f(x)=\ln(1+x^{2})\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=\frac{2x}{1+x^{2}},
g(x)=2x\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=2.
Assim o limite original vira
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{2x}{1+x^{2}}}{2} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{x}{1+x^{2}} =\frac{0}{1+0}=0.

Resposta

0

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