Determine a curva C definida por:
\vec{r}(t)=\left[\frac{1+t}{2}, \pi \operatorname{sen} \frac{\pi t}{2}, \frac{1+t^{3}}{2}\right]
-1 \leqslant t \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \vec{r}(t) com componentes
\vec{r}(t)=\left[\frac{1+t}{2},\;\pi\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right),\;\frac{1+t^{3}}{2}\right]
e o parâmetro varia em -1\le t\le 1. A pergunta é: "determine a curva C" — ou seja, descrevê‑la geometricamente, eliminando o parâmetro se possível e identificando o domínio das coordenadas.
As informações relevantes são:
x=\frac{1+t}{2},\qquad y=\pi\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right),\qquad z=\frac{1+t^{3}}{2},
com -1\le t\le 1.

Passo 2

Isolamos o parâmetro t a partir da componente x. Isso é útil porque x aparece de forma linear em t.
Da relação
x=\frac{1+t}{2}
temos
t=2x-1.
Também traduzimos o intervalo de t para o intervalo de x: como -1\le t\le 1, então
x=\frac{1+t}{2}\quad\Rightarrow\quad 0\le x\le 1.
Ou seja, a curva pode ser vista como algo sobre o intervalo x\in[0,1].

Passo 3

Agora substituímos t=2x-1 na expressão de y. Começamos reescrevendo o argumento do seno:
\frac{\pi t}{2}=\frac{\pi(2x-1)}{2}=\pi\left(x-\tfrac{1}{2}\right)=\pi x-\tfrac{\pi}{2}.
Usamos a identidade trigonométrica (mostro por que ela vale):
\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.
Tomando u=\pi x e v=\tfrac{\pi}{2}, e sabendo que \cos\!\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\!\tfrac{\pi}{2}=1, obtemos
\sin\!\left(\pi x-\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin(\pi x)\cdot 0-\cos(\pi x)\cdot 1=-\cos(\pi x).
Portanto
y=\pi\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)=\pi\sin\!\left(\pi x-\tfrac{\pi}{2}\right)=-\pi\cos(\pi x).

Passo 4

Substituímos t=2x-1 na expressão de z:
z=\frac{1+t^{3}}{2}=\frac{1+(2x-1)^{3}}{2}.
Expandimos o cubo (uso a fórmula do binômio):
(2x-1)^{3}=8x^{3}-12x^{2}+6x-1.
Somando 1 e dividindo por 2 temos
z=\frac{1+(8x^{3}-12x^{2}+6x-1)}{2}=\frac{8x^{3}-12x^{2}+6x}{2}=4x^{3}-6x^{2}+3x.

Passo 5

Juntando os resultados, eliminamos o parâmetro e descrevemos C em coordenadas cartesianas como o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
y=-\pi\cos(\pi x),\qquad z=4x^{3}-6x^{2}+3x,
com
0\le x\le 1.
Isto significa que C é o gráfico paramétrico sobre o eixo x no intervalo [0,1], onde y é dado pela função trigonométrica -\pi\cos(\pi x) e z é o polinómio cúbico 4x^{3}-6x^{2}+3x.
Para referência rápida, os extremos do parâmetro correspondem aos pontos:
t=-1\Rightarrow (x,y,z)=(0,-\pi,0),
t=1\Rightarrow (x,y,z)=(1,\pi,1),
e, por exemplo, t=0\Rightarrow (x,y,z)=(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}).

Resposta

C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=-\pi\cos(\pi x),\;z=4x^{3}-6x^{2}+3x,\;0\le x\le 1\}

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