Determine a curva C definida por:
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
com componentes
e o parâmetro varia em
. A pergunta é: "determine a curva
" — ou seja, descrevê‑la geometricamente, eliminando o parâmetro se possível e identificando o domínio das coordenadas.
As informações relevantes são:
com
.
Passo 2
Isolamos o parâmetro
a partir da componente
. Isso é útil porque
aparece de forma linear em
.
Da relação
temos
Também traduzimos o intervalo de
para o intervalo de
: como
, então
Ou seja, a curva pode ser vista como algo sobre o intervalo
.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão de
. Começamos reescrevendo o argumento do seno:
Usamos a identidade trigonométrica (mostro por que ela vale):
Tomando
e
, e sabendo que
e
, obtemos
Portanto
Passo 4
Substituímos
na expressão de
:
Expandimos o cubo (uso a fórmula do binômio):
Somando
e dividindo por
temos
Passo 5
Juntando os resultados, eliminamos o parâmetro e descrevemos
em coordenadas cartesianas como o conjunto de pontos
tais que
com
Isto significa que
é o gráfico paramétrico sobre o eixo
no intervalo
, onde
é dado pela função trigonométrica
e
é o polinómio cúbico
.
Para referência rápida, os extremos do parâmetro correspondem aos pontos:
e, por exemplo,
.