Considere a função
? (a)
ponto) Determine o ponto em que
assume seu valor máximo no intervalo
. Calcule esse valor máximo.
(b)
ponto) Estude o comportamento da função
quando
. Qual é o limite? Justifique como resolver essa indeterminação.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em (a) o ponto em que
atinge seu valor máximo no domínio
e esse valor máximo; em (b) o comportamento de
quando
, isto é, calcular
e explicar como resolver a indeterminação da forma
. Para isso, vamos usar derivadas para achar extremos e técnicas de divisões por potências de
para o limite.
Passo 2
Calcular a derivada de
Usando a regra do quociente,
Para encontrar pontos críticos, igualamos o numerador a zero:
(consideramos só
).
Passo 3
Verificamos o sinal de
: para
,
logo
; para
,
logo
. Portanto
é ponto de máximo relativo (e como não há outros críticos e a função tende a zero nas extremidades do domínio, é máximo global em
). O valor máximo é
Passo 4
Analisar
. Observe que
é da forma
. Para resolver, dividimos numerador e denominador por
:
Quando
, temos
e
. Logo
Resposta
(a) O ponto de máximo é
e o valor máximo é
.
(b) , obtido dividindo numerador e denominador por
para desfazer a indeterminação
.
(b)