Considere a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}, \quad x>0
? (a) (0,5 ponto) Determine o ponto em que f(x) assume seu valor máximo no intervalo x>0. Calcule esse valor máximo.
(b) \left(0,5\right. ponto) Estude o comportamento da função f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} quando x \rightarrow \infty. Qual é o limite? Justifique como resolver essa indeterminação.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\quad x>0
e pede em (a) o ponto em que f atinge seu valor máximo no domínio x>0 e esse valor máximo; em (b) o comportamento de f(x) quando x\to\infty, isto é, calcular \lim_{x\to\infty}f(x) e explicar como resolver a indeterminação da forma \infty/\infty. Para isso, vamos usar derivadas para achar extremos e técnicas de divisões por potências de x para o limite.

Passo 2

Calcular a derivada de
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.
Usando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{(1)(x^{2}+1)-x\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para encontrar pontos críticos, igualamos o numerador a zero:
1-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1
(consideramos só x>0).

Passo 3

Verificamos o sinal de f'(x): para 0<x<1, 1-x^{2}>0 logo f'(x)>0; para x>1, 1-x^{2}<0 logo f'(x)<0. Portanto x=1 é ponto de máximo relativo (e como não há outros críticos e a função tende a zero nas extremidades do domínio, é máximo global em x>0). O valor máximo é
f(1)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Analisar \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x). Observe que
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
é da forma \infty/\infty. Para resolver, dividimos numerador e denominador por x^{2}:
f(x) =\frac{x/x^{2}}{(x^{2}+1)/x^{2}} =\frac{1/x}{1+1/x^{2}}.
Quando x\to\infty, temos 1/x\to0 e 1/x^{2}\to0. Logo
\lim_{x\to\infty}f(x) =\frac{0}{1+0} =0.

Resposta

(a) O ponto de máximo é x=1 e o valor máximo é f(1)=\tfrac12.
(b) \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0, obtido dividindo numerador e denominador por x^{2} para desfazer a indeterminação \infty/\infty.

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