Resolva os PDI, por Laplace(todas as questões valem 2,5 pontos):
\begin{aligned} \ddot{y}+\dot{y}+2 y & =e^{-t} \\\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \\\ \ddot{y}+y= & u_{\pi}(t) \cos (t-\pi) \\\ y(0)= & \dot{y}(0)=0 \\\ \ddot{y}-y & =\delta(t-\pi) \\\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \\\ \ddot{y} y & =u_{\pi}(t) \\\ y(0) & =\dot{y}(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá quatro equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais nulas e forçantes do tipo exponencial, degrau deslocado multiplicado por cosseno, impulso deslocado e degrau deslocado. Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada equação, resolver algebricamente no domínio de s e depois inverter usando frações parciais e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Resolver \ddot{y}+\dot{y}+2y=e^{-t}, com y(0)=\dot y(0)=0.
Aplicando Laplace:
(s^2+s+2)Y(s)=\frac{1}{s+1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s^2+s+2)}.
Em frações parciais:
Y(s)=\frac12\frac{1}{s+1}-\frac12\frac{s}{s^2+s+2}.
Como
s^2+s+2=\Bigl(s+\tfrac12\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}\Bigr)^2,
temos
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\tfrac{1}{s+1}\Bigr]=e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\tfrac{s}{s^2+s+2}\Bigr] =e^{-\frac t2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) -\frac{1}{\sqrt7}\,e^{-\frac t2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).
Portanto
y_1(t) =\frac12\,e^{-t} -\frac12\,e^{-\frac t2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) +\frac{1}{2\sqrt7}\,e^{-\frac t2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).

Passo 3

Resolver \ddot{y}+y=u_{\pi}(t)\cos(t-\pi), com condições nulas.
Em s:
(s^2+1)Y(s) =e^{-\pi s}\,\frac{s}{s^2+1} \;\Longrightarrow\; Y(s)=e^{-\pi s}\,\frac{s}{(s^2+1)^2}.
Sabendo que \mathcal{L}\{t\sin t\}=2s/(s^2+1)^2, segue
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl[\tfrac{s}{(s^2+1)^2}\Bigr] =\frac12\,t\sin t.
Pelo deslocamento no tempo:
y_2(t)=u(t-\pi)\,\frac{t-\pi}{2}\,\sin(t-\pi).

Passo 4

Resolver \ddot{y}-y=\delta(t-\pi), com condições nulas.
Em s:
(s^2-1)Y(s)=e^{-\pi s} \;\Longrightarrow\; Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^2-1}.
Como \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}=1/(s^2-1), obtemos
y_3(t)=u(t-\pi)\,\operatorname{sinh}(t-\pi).

Passo 5

Resolver \ddot{y}+y=u_{\pi}(t), com condições nulas.
Em s:
(s^2+1)Y(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s} \;\Longrightarrow\; Y(s)=e^{-\pi s}\,\frac{1}{s(s^2+1)}.
Fazendo frações parciais:
\frac{1}{s(s^2+1)}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1},
cuja inversa é 1-\cos t. Pelo deslocamento:
y_4(t)=u(t-\pi)\bigl[1-\cos(t-\pi)\bigr].

Resposta

y_1(t)=\tfrac12\,e^{-t} -\tfrac12\,e^{-\tfrac t2}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr) +\tfrac{1}{2\sqrt7}\,e^{-\tfrac t2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr). y_2(t)=u(t-\pi)\,\tfrac{t-\pi}{2}\sin(t-\pi). y_3(t)=u(t-\pi)\,\operatorname{sinh}(t-\pi). y_4(t)=u(t-\pi)\bigl[1-\cos(t-\pi)\bigr].

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